31-я Балканская математическая олимпиада
Плевен, Болгария, 2014 год

Задача №1. Для положительных действительных чисел $x$, $y$, $z$ верно $xy + yz + zx = 3xyz$. Докажите неравенство $${{x}^{2}}y+{{y}^{2}}z+{{z}^{2}}x\ge 2\left( x+y+z \right)-3$$ и определите когда достигается равенство.
комментарий/решение(4)

---

Задача №2.  Натуральное число $n$ назовем специальным, если существуют натуральные числа $a$, $b$, $c$ и $d$, удовлетворяющие равенству $n=\dfrac{{{a}^{3}}+2{{b}^{3}}}{{{c}^{3}}+2{{d}^{3}}}$, Докажите, что:
a) существует бесконечно много специальных чисел;
b) 2014 не специальное число.
комментарий/решение(1)

---

Задача №3. Трапеция $ABCD$ вписана в окружность $\Gamma$ с диаметром $AB$. Обозначим через $E$ точку пересечения диагоналей $AC$ и $BD$. Окружность с центром $B$ и радиусом $BE$ пересекает $\Gamma$ в точках $K$ и $L$, причем $K$ лежит по одну сторону с точкой $C$ относительно $AB$. Прямая, перпендикулярная $BD$ в точке $E$, пересекает $CD$ в точке $M$. Докажите, что прямая $KM$ перпендикулярна $DL$.
комментарий/решение(1)

---

Задача №4. Пусть $n$ — натуральное число. Правильный шестиугольник со стороной $n$ разделен на правильные треугольники со сторонами 1 (при помощи прямых, параллельных сторонам шестиугольника). Найдите количество правильных шестиугольников все вершины которых являются вершинами этих правильных треугольников.
комментарий/решение(1)

---