Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Математикадан 31-ші Балкан олимпиадасы, Плевна, Болгария, 2014 жыл


Диаметрі AB болатын Γ шеңберіне ABCD трапециясы іштей сызылған. E нүктесі арқылы AC және BD диагоналдерінің қиылысуын белгілейміз. Центрі B нүктесі болатын және радиусы BE болатын шеңбер Γ шеңберін K және L нүктелерінде қияды, оған қоса K нүктесі AB-ға қатысты C нүктесімен бірге бір жағында жатады. BD -ға E нүктесінде жүргізілген перпендикуляр CD-ны M нүктесінде қияды. KM түзуі DL-ға перпендикуляр екенін дәлелдеңіздер.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 3   2
3 года 11 месяца назад #

XMEAB , FDLKM, ZΓKM, HABLK и ABD=b трапеция из условия равнобедренная .

Лемма: H середина BX

Доказательство: так как LHAB и треугольники BEX,BHG подобны по трем углам, тогда BX=BEcosb=BLcosb из свойств хорд и теоремы Пифагора BHAH=LH2=BL2BH2 (1) и учитывая то что трапеция равнобедренная AB=2BLcosb=AH+BH выражая AH и подставляя в (1) получается BH=BL2cosb=BX2.

Решение: так как ADB=90 тогда XE||AD значит AD=XM как стороны параллелограмма ADXM, значит XMBC равнобедренная трапеция и учитывая лемму, получается KMC равнобедренный треугольник и CKL=LKM=LKZ откуда DZM равнобедренный треугольник и DF биссектриса ZDM откуда KMDL .