Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Математикадан 31-ші Балкан олимпиадасы, Плевна, Болгария, 2014 жыл


n саны натурал сан болсын. Қабырғасы n болатын дұрыс алтыбұрыш, қабырғалары 1-ге тең болатын дұрыс алтыбұрыштарға бөлінді (алтыбұрыштың қабырғаларына параллель түзулері арқылы). Төбелері осы бөлгенде пайда болған үшбұрыштар төбелерімен сай келетін дұрыс алтыбұрыштар санын табыңыздар.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  2
3 года 11 месяца назад #

Отметим такие свойства деления шестиугольника: для четных n

1. В разбиении, когда сторона шестиугольника параллельна одной сторон.

2. В разбиении, когда сторона шестиугольника совпадает с диагональю параллелограмма.

То есть стороны равны диагоналям параллелограммов

(1 x 1, 1 x 2, 1 x 3, ... ,1 x n1)

(2 x 2 , 2 x 3, ..., 2 x n2 )

...

(n22 x n22 , ..., n22 x n+22)

(n2 x n2)

Отметим так же что в каждой скобке, у всех кроме параллелограммов стороны которые равны (то есть первые в скобках) существует симметричные построения на рисунке (красные и синие) (1)

Решение:

1. В этом разбиении число шестиугольников так же разбиваются на стороны равные 1,2,3,4,...,n пусть они есть a1,a2,...an

Очевидно что их количество соответственно равны

a1=n+(n+1)+...(2n2)+(2n1)+(2n2)+(2n3)+..+(n+1)+n

a2=(n1)+n+(n+1)+...(2n4)+(2n3)+(2n4)+...(n+1)+n+(n1)

a3=(n2)+(n1)+n+...(2n4)+(2n5)+(2n4)+...+n+(n1)+(n2)

...

an=1

Если просуммировать получим S1=a1+a2+...an=n(1+3+5+7+...+2n1)=n2n22=n3

2. Отметим некоторую очевидную закономерность:

количество шестиугольников сторона которой, совпадает с диагональю 1 x 1 = a21=a2

количество шестиугольников сторона которой, совпадает с диагональю 1 x 2 = a3

...

количество шестиугольников сторона которой, совпадает с диагональю 1 x n1 = 1

///

количество шестиугольников сторона которой, совпадает с диагональ 2 x 2 = a22=a4

количество шестиугольников сторона которой, совпадает с диагональ 2 x 3 = a5

...

количество шестиугольников сторона которой, совпадает с диагональ 2 x n2 = 1

///

количество шестиугольников сторона которой, совпадает с диагональ 3 x 3 = a23=a6

...

количество шестиугольников сторона которой, совпадает с диагональ 3 x n3 = 1

...

///

количество шестиугольников сторона которой, совпадает с диагональ n2 x n2 = a2n2=an=1

3) Тогда всю сумму в целом можно записать, учитывая доказанное в пункте 1 свойство и симметричность (то есть должны умножить на 2 все, кроме первых в упомянутых в скобках) получим что нужное количество :

S=n3+a2+2(n2)3+a4+2(n4)3+...+223+an

учитывая снова свойства пункте (1) по четным

a2=(n1)3+(n2)3

a4=(n3)3+(n4)3

...

a8=13

Подставив и преобразовав, получим известную сумму S=13+23+33+...+n3=(n(n+1))24

Для нечетных разбиение в пункте 2 немного отличается, а именно

2.

(1 x 1, 1 x 2, 1 x 3, ... ,1 x n1)

(2 x 2 , 2 x 3, ..., 2 x n2 )

...

(n12 x n12)

(n12 x n+12)

соображения те же, считаем по 2 всех кроме первых, только последнюю считаем так же по два.

Ответ будет аналогичен (n(n+1))24