31-я Балканская математическая олимпиадаПлевен, Болгария, 2014 год

Пусть $n$ — натуральное число. Правильный шестиугольник со стороной $n$ разделен на правильные треугольники со сторонами 1 (при помощи прямых, параллельных сторонам шестиугольника). Найдите количество правильных шестиугольников все вершины которых являются вершинами этих правильных треугольников.

Комментарий/решение

Отметим такие свойства деления шестиугольника: для четных $n$

1. В разбиении, когда сторона шестиугольника параллельна одной сторон.

2. В разбиении, когда сторона шестиугольника совпадает с диагональю параллелограмма.

То есть стороны равны диагоналям параллелограммов

($1$ x $1$, $1$ x $2$, $1$ x $3$, ... ,$1$ x $n-1$)

($2$ x $2$ , $2$ x $3$, ..., $2$ x $n-2$ )

$...$

($\dfrac{n-2}{2}$ x $\dfrac{n-2}{2}$ , ..., $\dfrac{n-2}{2}$ x $\dfrac{n+2}{2}$)

($ \dfrac{n}{2}$ x $\dfrac{n}{2}$)

Отметим так же что в каждой скобке, у всех кроме параллелограммов стороны которые равны (то есть первые в скобках) существует симметричные построения на рисунке (красные и синие) $(1)$

Решение:

1. В этом разбиении число шестиугольников так же разбиваются на стороны равные $1,2,3,4,...,n$ пусть они есть $a_{1},a_{2},...a_{n}$

Очевидно что их количество соответственно равны

$a_{1}=n+(n+1)+...(2n-2)+(2n-1) + (2n-2)+(2n-3)+..+(n+1)+n$

$a_{2}=(n-1)+n+(n+1)+...(2n-4)+(2n-3)+(2n-4)+...(n+1)+n+(n-1)$

$a_{3}=(n-2)+(n-1)+n+...(2n-4)+(2n-5)+(2n-4)+...+n+(n-1)+(n-2)$

$...$

$a_{n} = 1$

Если просуммировать получим $S_{1}=a_{1}+a_{2}+...a_{n}=n(1+3+5+7+...+2n-1) = n \cdot \dfrac{2n^2}{2} = n^3$

2. Отметим некоторую очевидную закономерность:

количество шестиугольников сторона которой, совпадает с диагональю $1$ x $1$ = $a_{2 \cdot 1} = a_{2}$

количество шестиугольников сторона которой, совпадает с диагональю $1$ x $2$ = $a_{3}$

$...$

количество шестиугольников сторона которой, совпадает с диагональю $1$ x $n-1$ = $1$

///

количество шестиугольников сторона которой, совпадает с диагональ $2$ x $2$ = $a_{2 \cdot 2} = a_{4}$

количество шестиугольников сторона которой, совпадает с диагональ $2$ x $3$ = $a_{5}$

$...$

количество шестиугольников сторона которой, совпадает с диагональ $2$ x $n-2$ = $1$

///

количество шестиугольников сторона которой, совпадает с диагональ $3$ x $3$ = $a_{2 \cdot 3} = a_{6}$

$...$

количество шестиугольников сторона которой, совпадает с диагональ $3$ x $n-3$ = $1$

$...$

///

количество шестиугольников сторона которой, совпадает с диагональ $\dfrac{n}{2}$ x $ \dfrac{n}{2}$ = $a_{2 \cdot \frac{n}{2}} = a_{n} = 1$

3) Тогда всю сумму в целом можно записать, учитывая доказанное в пункте $1$ свойство и симметричность (то есть должны умножить на $2$ все, кроме первых в упомянутых в скобках) получим что нужное количество :

$S=n^3+a_{2}+2 \cdot (n-2)^3+a_{4}+2 \cdot (n-4)^3+...+ 2 \cdot 2^3 + a_{n} $

учитывая снова свойства пункте $(1)$ по четным

$a_{2} = (n-1)^3+(n-2)^3$

$a_{4} = (n-3)^3+(n-4)^3$

$...$

$a_{8}=1^3$

Подставив и преобразовав, получим известную сумму $S=1^3+2^3+3^3+...+n^3 = \dfrac{(n(n+1))^2}{4}$

Для нечетных разбиение в пункте $2$ немного отличается, а именно

2.

($1$ x $1$, $1$ x $2$, $1$ x $3$, ... ,$1$ x $n-1$)

($2$ x $2$ , $2$ x $3$, ..., $2$ x $n-2$ )

$...$

($\dfrac{n-1}{2}$ x $\dfrac{n-1}{2}$)

($ \dfrac{n-1}{2}$ x $\dfrac{n+1}{2}$)

соображения те же, считаем по $2$ всех кроме первых, только последнюю считаем так же по два.

Ответ будет аналогичен $\dfrac{(n(n+1))^2}{4}$