Математикадан 31-ші Балкан олимпиадасы, Плевна, Болгария, 2014 жыл
Комментарий/решение:
Отметим такие свойства деления шестиугольника: для четных n
1. В разбиении, когда сторона шестиугольника параллельна одной сторон.
2. В разбиении, когда сторона шестиугольника совпадает с диагональю параллелограмма.
То есть стороны равны диагоналям параллелограммов
(1 x 1, 1 x 2, 1 x 3, ... ,1 x n−1)
(2 x 2 , 2 x 3, ..., 2 x n−2 )
...
(n−22 x n−22 , ..., n−22 x n+22)
(n2 x n2)
Отметим так же что в каждой скобке, у всех кроме параллелограммов стороны которые равны (то есть первые в скобках) существует симметричные построения на рисунке (красные и синие) (1)
Решение:
1. В этом разбиении число шестиугольников так же разбиваются на стороны равные 1,2,3,4,...,n пусть они есть a1,a2,...an
Очевидно что их количество соответственно равны
a1=n+(n+1)+...(2n−2)+(2n−1)+(2n−2)+(2n−3)+..+(n+1)+n
a2=(n−1)+n+(n+1)+...(2n−4)+(2n−3)+(2n−4)+...(n+1)+n+(n−1)
a3=(n−2)+(n−1)+n+...(2n−4)+(2n−5)+(2n−4)+...+n+(n−1)+(n−2)
...
an=1
Если просуммировать получим S1=a1+a2+...an=n(1+3+5+7+...+2n−1)=n⋅2n22=n3
2. Отметим некоторую очевидную закономерность:
количество шестиугольников сторона которой, совпадает с диагональю 1 x 1 = a2⋅1=a2
количество шестиугольников сторона которой, совпадает с диагональю 1 x 2 = a3
...
количество шестиугольников сторона которой, совпадает с диагональю 1 x n−1 = 1
///
количество шестиугольников сторона которой, совпадает с диагональ 2 x 2 = a2⋅2=a4
количество шестиугольников сторона которой, совпадает с диагональ 2 x 3 = a5
...
количество шестиугольников сторона которой, совпадает с диагональ 2 x n−2 = 1
///
количество шестиугольников сторона которой, совпадает с диагональ 3 x 3 = a2⋅3=a6
...
количество шестиугольников сторона которой, совпадает с диагональ 3 x n−3 = 1
...
///
количество шестиугольников сторона которой, совпадает с диагональ n2 x n2 = a2⋅n2=an=1
3) Тогда всю сумму в целом можно записать, учитывая доказанное в пункте 1 свойство и симметричность (то есть должны умножить на 2 все, кроме первых в упомянутых в скобках) получим что нужное количество :
S=n3+a2+2⋅(n−2)3+a4+2⋅(n−4)3+...+2⋅23+an
учитывая снова свойства пункте (1) по четным
a2=(n−1)3+(n−2)3
a4=(n−3)3+(n−4)3
...
a8=13
Подставив и преобразовав, получим известную сумму S=13+23+33+...+n3=(n(n+1))24
Для нечетных разбиение в пункте 2 немного отличается, а именно
2.
(1 x 1, 1 x 2, 1 x 3, ... ,1 x n−1)
(2 x 2 , 2 x 3, ..., 2 x n−2 )
...
(n−12 x n−12)
(n−12 x n+12)
соображения те же, считаем по 2 всех кроме первых, только последнюю считаем так же по два.
Ответ будет аналогичен (n(n+1))24
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.