Математикадан 31-ші Балкан олимпиадасы, Плевна, Болгария, 2014 жыл

Есеп №1.

$x$ ,

$y$ ,

$z$ оң нақты сандары үшін

$xy + yz + zx = 3xyz$ теңдігі дұрыс.

${{x}^{2}}y+{{y}^{2}}z+{{z}^{2}}x\ge 2\left( x+y+z \right)-3$ теңсіздігін дәлелдеңіздер және теңдік жағдайы қай кезде орындалатынын анықтаңыздар.
комментарий/решение(4)

Есеп №2. Натурал

$n$ санын ерекше деп атаймыз, егер

$n=\dfrac{{{a}^{3}}+2{{b}^{3}}}{{{c}^{3}}+2{{d}^{3}}}$ теңдігін қанағаттандыратын

$a$ ,

$b$ ,

$c$ және

$d$ натурал сандары табылса. Дәлелдеңіздер:
a) ерекше сандар шексіз көп табылатынын;
b) 2014 саны ерекше емес екендігі.
комментарий/решение(1)

Есеп №3. Диаметрі

$AB$ болатын

$\Gamma$ шеңберіне

$ABCD$ трапециясы іштей сызылған.

$E$ нүктесі арқылы

$AC$ және

$BD$ диагоналдерінің қиылысуын белгілейміз. Центрі

$B$ нүктесі болатын және радиусы

$BE$ болатын шеңбер

$\Gamma$ шеңберін

$K$ және

$L$ нүктелерінде қияды, оған қоса

$K$ нүктесі

$AB$ -ға қатысты

$C$ нүктесімен бірге бір жағында жатады.

$BD$ -ға

$E$ нүктесінде жүргізілген перпендикуляр

$CD$ -ны

$M$ нүктесінде қияды.

$KM$ түзуі

$DL$ -ға перпендикуляр екенін дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(1)

Есеп №4.

$n$ саны натурал сан болсын. Қабырғасы

$n$ болатын дұрыс алтыбұрыш, қабырғалары 1-ге тең болатын дұрыс алтыбұрыштарға бөлінді (алтыбұрыштың қабырғаларына параллель түзулері арқылы). Төбелері осы бөлгенде пайда болған үшбұрыштар төбелерімен сай келетін дұрыс алтыбұрыштар санын табыңыздар.
комментарий/решение(1)

результаты