Математикадан 31-ші Балкан олимпиадасы, Плевна, Болгария, 2014 жыл

Есеп №1. $x$, $y$, $z$ оң нақты сандары үшін $xy + yz + zx = 3xyz$ теңдігі дұрыс. ${{x}^{2}}y+{{y}^{2}}z+{{z}^{2}}x\ge 2\left( x+y+z \right)-3$ теңсіздігін дәлелдеңіздер және теңдік жағдайы қай кезде орындалатынын анықтаңыздар.
комментарий/решение(3)

---

Есеп №2. Натурал $n$ санын ерекше деп атаймыз, егер $n=\dfrac{{{a}^{3}}+2{{b}^{3}}}{{{c}^{3}}+2{{d}^{3}}}$ теңдігін қанағаттандыратын $a$, $b$, $c$ және $d$ натурал сандары табылса. Дәлелдеңіздер:
a) ерекше сандар шексіз көп табылатынын;
b) 2014 саны ерекше емес екендігі.
комментарий/решение(1)

---

Есеп №3. Диаметрі $AB$ болатын $\Gamma$ шеңберіне $ABCD$ трапециясы іштей сызылған. $E$ нүктесі арқылы $AC$ және $BD$ диагоналдерінің қиылысуын белгілейміз. Центрі $B$ нүктесі болатын және радиусы $BE$ болатын шеңбер $\Gamma$ шеңберін $K$ және $L$ нүктелерінде қияды, оған қоса $K$ нүктесі $AB$-ға қатысты $C$ нүктесімен бірге бір жағында жатады. $BD$ -ға $E$ нүктесінде жүргізілген перпендикуляр $CD$-ны $M$ нүктесінде қияды. $KM$ түзуі $DL$-ға перпендикуляр екенін дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(1)

---

Есеп №4. $n$ саны натурал сан болсын. Қабырғасы $n$ болатын дұрыс алтыбұрыш, қабырғалары 1-ге тең болатын дұрыс алтыбұрыштарға бөлінді (алтыбұрыштың қабырғаларына параллель түзулері арқылы). Төбелері осы бөлгенде пайда болған үшбұрыштар төбелерімен сай келетін дұрыс алтыбұрыштар санын табыңыздар.
комментарий/решение(1)

---