Математикадан 30-ші Балкан олимпиадасы, Агрос, Кипр, 2013 жыл

Есеп №1.

$ABC$ үшбұрышында

$A$ төбесіне сәйкес келетін сыртта іштей сызылған

$\omega_a$ шеңбері

$AB$ түзуін

$P$ нүктесінде,

$AC$ түзуін

$Q$ нүктесінде жанайды; ал

$B$ төбесіне сәйкес келетін сыртта іштей сызылған

$\omega_b$ шеңбері

$BA$ түзуін

$M$ нүктесінде және

$BC$ түзуін

$N$ нүктесінде жанайды.

$C$ нүктесінің

$MN$ түзуіне проекциясы

$K$ нүктесі болсын, ал

$C$ нүктесінің

$PQ$ түзуіне проекциясы

$L$ нүктесі болсын.

$M,K,L,P$ нүктелері бір шеңбердің бойында жататынын дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(1)

Есеп №2.

$x$ ,

$y$ және

$z$ натурал сандар жиынында

$x^5 + 4^y = 2013^z$ теңдеуін шешіңіздер.
комментарий/решение(1)

Есеп №3.

$S$ — оң нақты сандар жиыны болсын. Барлық оң

$x$ ,

$y$ ,

$z$ және

$k$ нақты сандары үшін келесі үш шарт орындалатындай барлық

$f\colon S^3 \to S$ функцияларын табыңыздар:
(a)

$xf(x,y,z) = zf(z,y,x)$ ,
(b)

$f(x, ky, k^2z) = kf(x,y,z)$ ,
(c)

$f(1, k, k+1) = k+1$ .
комментарий/решение

Есеп №4. Математикалық олимпиаданың кейбір қатысушылары бір-бірімен достасады (достық өзара болы есептеледі: егер

$A$ қатысушы

$B$ -ның досы болса, онда

$B$ қатысушы да

$A$ -ның досы).

$n \geq 3$ үшін әр түрлі

$A_1, A_2, \ldots, A_n$ қатысушыларын әлсіз-достық циклі деп есептейміз, егер барлық

$1 \leq i \leq n$ үшін

$A_i$ қатысушысы

$A_{i+1}$ қатысушысымен достастпаса (мұнда

$A_{n+1} = A_1$ ) және басқа достаспайтын цикл жұбы табылмаса. Оған қоса келесі қасиеттер орындалса:
Кез келген

$C$ қатысушысы және құрамында

$C$ болмайтын кез келген

$S$ әлсіз-достық циклі үшін,

$C$ -ның достары болмайтын

$S$ -тің

$D$ қатысушылар жиыны кем дегенде бір элементтен тұрады;
Осы олимпиаданың барлық қатысушыларын бір бөлменің кез келген екі қатысушысы дос болатындай үш бөлмеге бөліп отырғызуға болатынын дәлелдеңіздер.
комментарий/решение

результаты