Математикадан 30-ші Балкан олимпиадасы, Агрос, Кипр, 2013 жыл

Есеп №1. $ABC$ үшбұрышында $A$ төбесіне сәйкес келетін сыртта іштей сызылған $\omega_a$ шеңбері $AB$ түзуін $P$ нүктесінде, $AC$ түзуін $Q$ нүктесінде жанайды; ал $B$ төбесіне сәйкес келетін сыртта іштей сызылған $\omega_b$ шеңбері $BA$ түзуін $M$ нүктесінде және $BC$ түзуін $N$ нүктесінде жанайды. $C$ нүктесінің $MN$ түзуіне проекциясы $K$ нүктесі болсын, ал $C$ нүктесінің $PQ$ түзуіне проекциясы $L$ нүктесі болсын. $M,K,L,P$ нүктелері бір шеңбердің бойында жататынын дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(1)

---

Есеп №2. $x$, $y$ және $z$ натурал сандар жиынында $x^5 + 4^y = 2013^z$ теңдеуін шешіңіздер.
комментарий/решение(1)

---

Есеп №3. $S$ — оң нақты сандар жиыны болсын. Барлық оң $x$, $y$, $z$ және $k$ нақты сандары үшін келесі үш шарт орындалатындай барлық $f\colon S^3 \to S$ функцияларын табыңыздар:
(a) $xf(x,y,z) = zf(z,y,x)$,
(b) $f(x, ky, k^2z) = kf(x,y,z)$,
(c) $f(1, k, k+1) = k+1$.
комментарий/решение

---

Есеп №4.  Математикалық олимпиаданың кейбір қатысушылары бір-бірімен достасады (достық өзара болы есептеледі: егер $ A $ қатысушы $ B $-ның досы болса, онда $ B $ қатысушы да $ A $-ның досы). $n \geq 3$ үшін әр түрлі $A_1, A_2, \ldots, A_n$ қатысушыларын әлсіз-достық циклі деп есептейміз, егер барлық $1 \leq i \leq n$ үшін $A_i$ қатысушысы $A_{i+1}$ қатысушысымен достастпаса (мұнда $A_{n+1} = A_1$) және басқа достаспайтын цикл жұбы табылмаса. Оған қоса келесі қасиеттер орындалса:
Кез келген $C$ қатысушысы және құрамында $C$ болмайтын кез келген $S$ әлсіз-достық циклі үшін, $C$-ның достары болмайтын $S$-тің $D$ қатысушылар жиыны кем дегенде бір элементтен тұрады;
Осы олимпиаданың барлық қатысушыларын бір бөлменің кез келген екі қатысушысы дос болатындай үш бөлмеге бөліп отырғызуға болатынын дәлелдеңіздер.
комментарий/решение

---