30-я Балканская математическая олимпиада
Агрос, Кипр, 2013 год
Вневписанная окружность ωa треугольника ABC, соответствующая вершине A, касается прямой AB в точке P и прямой AC в Q; а вневписанная окружность ωb, соответствующая вершине B, касается прямой BA в точке M и прямой BC в N. Пусть K — проекция точки C на прямую MN, а L — проекция точки C на прямую PQ. Докажите, что четыре точки M,K,L,P лежат на одной окружности.
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
O1,O2 центры вневписанных окружностей касающийся BC,AC и J∈AO1∩BO2 и 2a=∠BAC, 2b=∠BAC тогда требуется доказать что треугольники CKL,JO2O1 подобны или тоже самое что CKCL=JO2JO1=sinbsina по свойству вневписанной окружности CK=CN⋅cosb=(p−BC)cosb=(AB+AC−BC)cosb2 и
CL=CQ⋅cosa=(p−AC)cosa=(AB+BC−AC)cosa2 выражая из треугольника остальные стороны через AB откуда
CKCL=sin(2a+2b)+sin(2b)−sin(2a)sin(2a+2b)+sin(2a)−sin(2b)cosbcosa=tgbtga⋅cosbcosa=sinbsina
Тогда если H∈PO1∩CK, I∈CL∩MO2 то точки M,I,K,L,H,P лежат на одной окружности, то есть MKLP вписанный.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.