Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

30-я Балканская математическая олимпиада
Агрос, Кипр, 2013 год


Вневписанная окружность ωa треугольника ABC, соответствующая вершине A, касается прямой AB в точке P и прямой AC в Q; а вневписанная окружность ωb, соответствующая вершине B, касается прямой BA в точке M и прямой BC в N. Пусть K — проекция точки C на прямую MN, а L — проекция точки C на прямую PQ. Докажите, что четыре точки M,K,L,P лежат на одной окружности.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  0
6 года 3 месяца назад #

O1,O2 центры вневписанных окружностей касающийся BC,AC и JAO1BO2 и 2a=BAC, 2b=BAC тогда требуется доказать что треугольники CKL,JO2O1 подобны или тоже самое что CKCL=JO2JO1=sinbsina по свойству вневписанной окружности CK=CNcosb=(pBC)cosb=(AB+ACBC)cosb2 и

CL=CQcosa=(pAC)cosa=(AB+BCAC)cosa2 выражая из треугольника остальные стороны через AB откуда

CKCL=sin(2a+2b)+sin(2b)sin(2a)sin(2a+2b)+sin(2a)sin(2b)cosbcosa=tgbtgacosbcosa=sinbsina

Тогда если HPO1CK, ICLMO2 то точки M,I,K,L,H,P лежат на одной окружности, то есть MKLP вписанный.