30-я Балканская математическая олимпиадаАгрос, Кипр, 2013 год

Вневписанная окружность $\omega_a$ треугольника $ABC$, соответствующая вершине $A$, касается прямой $AB$ в точке $P$ и прямой $AC$ в $Q$; а вневписанная окружность $\omega_b$, соответствующая вершине $B$, касается прямой $BA$ в точке $M$ и прямой $BC$ в $N$. Пусть $K$ — проекция точки $C$ на прямую $MN$, а $L$ — проекция точки $C$ на прямую $PQ$. Докажите, что четыре точки $M,K,L,P$ лежат на одной окружности.

Комментарий/решение

$O_{1},O_{2}$ центры вневписанных окружностей касающийся $BC,AC$ и $J \in AO_{1} \cap BO_{2}$ и $2a=\angle BAC, \ 2b=\angle BAC$ тогда требуется доказать что треугольники $CKL,JO_{2}O_{1}$ подобны или тоже самое что $\dfrac{CK}{CL} = \dfrac{JO_{2}}{JO_{1}} = \dfrac{sinb}{sina}$ по свойству вневписанной окружности $ CK=CN \cdot cosb=(p-BC)cosb=\dfrac{(AB+AC-BC)cosb}{2}$ и

$CL=CQ \cdot cosa=(p-AC)cosa=\dfrac{(AB+BC-AC)cosa}{2}$ выражая из треугольника остальные стороны через $AB$ откуда

$\dfrac{CK}{CL} = \dfrac{sin(2a+2b)+sin(2b)-sin(2a)}{sin(2a+2b)+sin(2a)-sin(2b)} \dfrac{cosb}{cosa} = \dfrac{tgb}{tga} \cdot \dfrac{cosb}{cosa} = \dfrac{sinb}{sina}$

Тогда если $H \in PO_{1} \cap CK , \ I \in CL \cap MO_{2}$ то точки $M,I,K,L,H,P$ лежат на одной окружности, то есть $MKLP$ вписанный.

Пусть $I_a, I_b$ центры $\omega_a, \omega_b$ соотственно, $PQ\cup MN=D,$ $\omega_a \cup BC=E, \omega_b \cup AC=F,$ $PC\cup AB=G,$ $PE\cup MF=H.$ $2\angle BPE=\angle BEP+\angle BPE=\angle ABC=2\angle CBI_b\Longrightarrow PE\parallel BI_b\Longrightarrow PE\bot MD \Longrightarrow H$ ортоцентр $\triangle MPD.$ $PQ\cup I_aI_b=T\Longrightarrow \angle BPT=\dfrac{180-\angle A}{2}=\dfrac{\angle B+\angle C}{2}=\dfrac{180-\angle I_aBP+180-\angle I_aCQ}{2}=\angle BI_aT\Longrightarrow BPI_aT$ вписанный, $\angle CTM=\angle CI_aA=\angle BTP\Longrightarrow \angle BTI_b=90\Longrightarrow BMI_bNT$ вписанный. $\angle KNC=90-\angle KCN=\dfrac{180-\angle B}{2}=\angle I_aBP=\angle I_aTP=\angle CTD\Longrightarrow CNDT$ вписанный $\Longrightarrow \angle NDC=\angle NTC=\angle NMI_b$ $\Longrightarrow$ $CD\parallel MI_a\Longrightarrow CD\bot AB$ $\Longrightarrow D,C,H,G$ лежат на одной прямой $ DK\cdot DM=DC\cdot DG=DL\cdot DP\blacksquare$