29-я Балканская математическая олимпиада
Анталья, Турция, 2012 год

Задача №1.  На окружности $\Gamma$ с центром в точке $O$ выбраны точки $A$, $B$ и $C$ так, что $\angle ABC > 90^\circ$. Пусть $D$ — точка пересечения прямой $AB$ с перпендикуляром к прямой $AC$ в точке $C$. Обозначим через $l$ прямую, проходящую через $D$ и перпендикулярную к прямой $AO$. Пусть $E$ — точка пересечения $l$ с прямой $AC$, а $F$ — точка пересечения прямой $l$ с окружностью $\Gamma$, лежащая между $D$ и $E$. Докажите, что описанные окружности треугольников $BFE$ и $CFD$ касаются в точке $F$.
комментарий/решение(1)

---

Задача №2.  Для положительных действительных чисел $x$, $y$ и $z$ докажите неравенство $\sum_{cyc}(x+y)\sqrt{(z+x)(z+y)}\geq 4(xy+yz+zx).$ Здесь в левой части неравенства стоит выражение $$(x + y)\sqrt {(z + x)(z + y)} + (y + z)\sqrt {(x + y)(x + z)} + (z + x)\sqrt {(y + z)(y + x)}.$$
комментарий/решение(3)

---

Задача №3.  Пусть $n$ — натурально число. Рассмотрим множество $P_n=\{2^n,2^{n-1}\cdot 3, 2^{n-2}\cdot 3^2,\dots, 3^n\}.$ Для любого подмножества $X$ множества $P_n$ обозначим через $S_X$ сумму элементов из $X$, при этом по определению полагаем $S_{\emptyset}=0$ для пустого множества $\emptyset$. Пусть $y$ — произвольное действительное число $y$ такое, что $0\leq y\leq 3^{n+1}-2^{n+1}$. Докажите, что найдется подмножества $Y$ множества $P_n$ такое, что $0\leq y-S_Y < 2^n$.
комментарий/решение

---

Задача №4. Найдите все функции $f: \mathbb{N} \to \mathbb{N}$, удовлетворяющие следующим условиям одновременно:
(i) $f(n!)=f(n)!$ для любого натурального $n$;
(ii) $f(m)-f(n)$ делится на $m-n$ для любых различных натуральных $m$ и $n$.
комментарий/решение(1)

---