29-я Балканская математическая олимпиадаАнталья, Турция, 2012 год

Пусть $n$ — натурально число. Рассмотрим множество $P_n=\{2^n,2^{n-1}\cdot 3, 2^{n-2}\cdot 3^2,\dots, 3^n\}.$ Для любого подмножества $X$ множества $P_n$ обозначим через $S_X$ сумму элементов из $X$, при этом по определению полагаем $S_{\emptyset}=0$ для пустого множества $\emptyset$. Пусть $y$ — произвольное действительное число $y$ такое, что $0\leq y\leq 3^{n+1}-2^{n+1}$. Докажите, что найдется подмножества $Y$ множества $P_n$ такое, что $0\leq y-S_Y < 2^n$.