Математикадан 29-шы Балкан олимпиадасы, Анталия, Турция, 2012 жыл

$n$ натурал саны берілсін. $P_n=\{2^n,2^{n-1}\cdot 3, 2^{n-2}\cdot 3^2,\dots, 3^n\}$ жиынын қарастырайық. $P_n$ жиынының кез келген $X$ ішкі жиыны үшін $S_X$ арқылы $X$ жиынының элементтерінің қосындысын белгілейік, мұндағы $\emptyset$ бос жиыны үшін анықтама бойынша $S_{\emptyset}=0$. $0\leq y\leq 3^{n+1}-2^{n+1}$ шарты орындалатындай $y$ саны кез келген нақты сан болсын. $0\leq y-S_Y < 2^n$ орындалатындай $P_n$ жиынының $Y$ ішкі жиыны табылатынын дәлелдеңіздер.