Математикадан 29-шы Балкан олимпиадасы, Анталия, Турция, 2012 жыл

Есеп №1. Центрі $O$ болатын $\Gamma$ шеңберінен $\angle ABC > 90^\circ$ болатын $A$, $B$ және $C$ нүктелері алынған. $AB$ түзуі мен $AC$ түзуіне $C$ нүктесіне түсірілген перпендикулярымен қиылысуы $D$ нүктесі болсын. $D$ нүктесі арқылы өтетін $AO$ түзуіне перпендикуляр түзуді $l$ деп белгілейік. $l$ және $AC$ түзулерінің қиылысуы $E$, ал $l$ түзуі мен $\Gamma$ шеңберінің $D$ және $E$ нүктелері арасындағы қиылысуы $F$ болсын. $BFE$ және $CFD$ үшбұрыштарына сырттай сызылған шеңберлер $F$ нүктесінде қиылысатынын дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(1)

---

Есеп №2. Оң $x$, $y$ және $z$ нақты сандары үшін $ \sum_{cyc}(x+y)\sqrt{(z+x)(z+y)}\geq 4(xy+yz+zx) $ теңсіздігін дәлелдеңіздер. Бұл жерде теңсіздіктің сол жағында $(x + y)\sqrt {(z + x)(z + y)} + (y + z)\sqrt {(x + y)(x + z)} + (z + x)\sqrt {(y + z)(y + x)}$ өрнегі берілген.
комментарий/решение(2)

---

Есеп №3. $n$ натурал саны берілсін. $ P_n=\{2^n,2^{n-1}\cdot 3, 2^{n-2}\cdot 3^2,\dots, 3^n\} $ жиынын қарастырайық. $P_n$ жиынының кез келген $X$ ішкі жиыны үшін $S_X$ арқылы $X$ жиынының элементтерінің қосындысын белгілейік, мұндағы $\emptyset$ бос жиыны үшін анықтама бойынша $ S_{\emptyset}=0 $. $ 0\leq y\leq 3^{n+1}-2^{n+1}$ шарты орындалатындай $y$ саны кез келген нақты сан болсын. $ 0\leq y-S_Y < 2^n $ орындалатындай $P_n$ жиынының $Y$ ішкі жиыны табылатынын дәлелдеңіздер.
комментарий/решение

---

Есеп №4. Келесі шарттарды бір мезетте қанағаттандыратын барлық $f: \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ функцияларын табыңыздар:
(i) кез келген $n$ натурал саны үшін $ f(n!)=f(n)! $ ;
(ii) кез келген әр түрлі $m$ және $n$ натурал сандары үшін $(m-n)$ | $(f(m)-f(n))$.
комментарий/решение(1)

---