Математикадан 29-шы Балкан олимпиадасы, Анталия, Турция, 2012 жыл

Есеп №1. Центрі

$O$ болатын

$\Gamma$ шеңберінен

$\angle ABC > 90^\circ$ болатын

$A$ ,

$B$ және

$C$ нүктелері алынған.

$AB$ түзуі мен

$AC$ түзуіне

$C$ нүктесіне түсірілген перпендикулярымен қиылысуы

$D$ нүктесі болсын.

$D$ нүктесі арқылы өтетін

$AO$ түзуіне перпендикуляр түзуді

$l$ деп белгілейік.

$l$ және

$AC$ түзулерінің қиылысуы

$E$ , ал

$l$ түзуі мен

$\Gamma$ шеңберінің

$D$ және

$E$ нүктелері арасындағы қиылысуы

$F$ болсын.

$BFE$ және

$CFD$ үшбұрыштарына сырттай сызылған шеңберлер

$F$ нүктесінде қиылысатынын дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(1)

Есеп №2. Оң

$x$ ,

$y$ және

$z$ нақты сандары үшін

$\sum_{cyc}(x+y)\sqrt{(z+x)(z+y)}\geq 4(xy+yz+zx)$ теңсіздігін дәлелдеңіздер. Бұл жерде теңсіздіктің сол жағында

$(x + y)\sqrt {(z + x)(z + y)} + (y + z)\sqrt {(x + y)(x + z)} + (z + x)\sqrt {(y + z)(y + x)}$ өрнегі берілген.
комментарий/решение(3)

Есеп №3.

$n$ натурал саны берілсін.

$P_n=\{2^n,2^{n-1}\cdot 3, 2^{n-2}\cdot 3^2,\dots, 3^n\}$ жиынын қарастырайық.

$P_n$ жиынының кез келген

$X$ ішкі жиыны үшін

$S_X$ арқылы

$X$ жиынының элементтерінің қосындысын белгілейік, мұндағы

$\emptyset$ бос жиыны үшін анықтама бойынша

$S_{\emptyset}=0$ .

$0\leq y\leq 3^{n+1}-2^{n+1}$ шарты орындалатындай

$y$ саны кез келген нақты сан болсын.

$0\leq y-S_Y < 2^n$ орындалатындай

$P_n$ жиынының

$Y$ ішкі жиыны табылатынын дәлелдеңіздер.
комментарий/решение

Есеп №4. Келесі шарттарды бір мезетте қанағаттандыратын барлық

$f: \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ функцияларын табыңыздар:
(i) кез келген

$n$ натурал саны үшін

$f(n!)=f(n)!$ ;
(ii) кез келген әр түрлі

$m$ және

$n$ натурал сандары үшін

$(m-n)$ |

$(f(m)-f(n))$ .
комментарий/решение(1)

результаты