29-я Балканская математическая олимпиадаАнталья, Турция, 2012 год

На окружности $\Gamma$ с центром в точке $O$ выбраны точки $A$, $B$ и $C$ так, что $\angle ABC > 90^\circ$. Пусть $D$ — точка пересечения прямой $AB$ с перпендикуляром к прямой $AC$ в точке $C$. Обозначим через $l$ прямую, проходящую через $D$ и перпендикулярную к прямой $AO$. Пусть $E$ — точка пересечения $l$ с прямой $AC$, а $F$ — точка пересечения прямой $l$ с окружностью $\Gamma$, лежащая между $D$ и $E$. Докажите, что описанные окружности треугольников $BFE$ и $CFD$ касаются в точке $F$.

Комментарий/решение

Пусть $\angle{OAC}=\lambda \implies \angle{AOC}=180-2\lambda \implies \angle{CBD}=90-\lambda=\angle{DEC} \implies$ точки $B,D,C,E$ лежат на одной окружности.

Откуда $\angle{EBD}=\angle{DCE}=90^{\circ}$.Также заметим что $\angle{DBF}=\angle{FCA} \implies \angle{EBF}=\angle{FCD}$ описанные окружности $\triangle EBF,\triangle FCD$ касаются в точке $F$