Математикадан 29-шы Балкан олимпиадасы, Анталия, Турция, 2012 жыл

Центрі $O$ болатын $\Gamma$ шеңберінен $\angle ABC > 90^\circ$ болатын $A$, $B$ және $C$ нүктелері алынған. $AB$ түзуі мен $AC$ түзуіне $C$ нүктесіне түсірілген перпендикулярымен қиылысуы $D$ нүктесі болсын. $D$ нүктесі арқылы өтетін $AO$ түзуіне перпендикуляр түзуді $l$ деп белгілейік. $l$ және $AC$ түзулерінің қиылысуы $E$, ал $l$ түзуі мен $\Gamma$ шеңберінің $D$ және $E$ нүктелері арасындағы қиылысуы $F$ болсын. $BFE$ және $CFD$ үшбұрыштарына сырттай сызылған шеңберлер $F$ нүктесінде қиылысатынын дәлелдеңіздер.

Комментарий/решение

Пусть $\angle{OAC}=\lambda \implies \angle{AOC}=180-2\lambda \implies \angle{CBD}=90-\lambda=\angle{DEC} \implies$ точки $B,D,C,E$ лежат на одной окружности.

Откуда $\angle{EBD}=\angle{DCE}=90^{\circ}$.Также заметим что $\angle{DBF}=\angle{FCA} \implies \angle{EBF}=\angle{FCD}$ описанные окружности $\triangle EBF,\triangle FCD$ касаются в точке $F$