27-я Балканская математическая олимпиада
Кишинёв, Молдавия, 2010 год

Задача №1. Пусть $a$, $b$ и $c$ — положительные вещественные числа.Докажите неравенство $\dfrac {a^2b(b-c)}{a+b}+\dfrac {b^2c(c-a)}{b+c}+\dfrac{c^2a(a-b)}{c+a}\ge 0.$
комментарий/решение(10)

---

Задача №2.  В остроугольном треугольнике $ABC$ с ортоцентром $H$ (ортоцентр — точка пересечения высот) точка $M$ является серединой стороны $AC$. Точка $C_1$ стороны $AB$ — основание высоты $CC_1$ треугольника $ABC$, а точка $H_1$ симметрична $H$ относительно $AB$. Точки $P$, $Q$ и $R$ являются ортогональными проекциями точки $C_1$ на прямые $AH_1$, $AC$ и $BC$, соответственно. Пусть точка $M_1$ такая, что центр описанной окружности треугольника $PQR$ является серединой отрезка $MM_1$.
Докажите, что $M_1$ лежит на отрезке $BH_1$.
комментарий/решение(2)

---

Задача №3.  Полосой ширины $w$ назовем множество всех точек плоскости, лежащих на или между двумя параллельными прямыми, расположенными на расстоянии $w$ друг от друга. Пусть $S$ — множество $n $ ($n \ge 3$) точек на плоскости таких, что любые три различные точки из $S$ могут быть покрыты полосой ширины 1.
Докажите, что множество $S$ может быть покрыто полосой ширины 2.
комментарий/решение

---

Задача №4.  Для каждого целого $n$ ($n \ge 2$) пусть $f(n)$ обозначает сумму всех натуральных чисел, которые не превосходят $n$ и не являются взаимно простыми с $n$.
Докажите, что $f(n+p)\neq f(n)$ для каждого такого $n$ и любого простого числа $p$.
комментарий/решение

---