27-я Балканская математическая олимпиада
Кишинёв, Молдавия, 2010 год
Задача №1. Пусть a, b и c — положительные вещественные числа.Докажите неравенство a2b(b−c)a+b+b2c(c−a)b+c+c2a(a−b)c+a≥0.
комментарий/решение(10)
комментарий/решение(10)
Задача №2. В остроугольном треугольнике ABC с ортоцентром H (ортоцентр — точка пересечения высот) точка M является серединой стороны AC. Точка C1 стороны AB — основание высоты CC1 треугольника ABC, а точка H1 симметрична H относительно AB. Точки P, Q и R являются ортогональными проекциями точки C1 на прямые AH1, AC и BC, соответственно. Пусть точка M1 такая, что центр описанной окружности треугольника PQR является серединой отрезка MM1.
Докажите, что M1 лежит на отрезке BH1.
комментарий/решение(2)
Докажите, что M1 лежит на отрезке BH1.
комментарий/решение(2)
Задача №3. Полосой ширины w назовем множество всех точек плоскости, лежащих на или между двумя параллельными прямыми, расположенными на расстоянии w друг от друга. Пусть S — множество n (n≥3) точек на плоскости таких, что любые три различные точки из S могут быть покрыты полосой ширины 1.
Докажите, что множество S может быть покрыто полосой ширины 2.
комментарий/решение
Докажите, что множество S может быть покрыто полосой ширины 2.
комментарий/решение
Задача №4. Для каждого целого n (n≥2) пусть f(n) обозначает сумму всех натуральных чисел, которые не превосходят n и не являются взаимно простыми с n.
Докажите, что f(n+p)≠f(n) для каждого такого n и любого простого числа p.
комментарий/решение
Докажите, что f(n+p)≠f(n) для каждого такого n и любого простого числа p.
комментарий/решение