Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

27-я Балканская математическая олимпиада
Кишинёв, Молдавия, 2010 год


Пусть a, b и c — положительные вещественные числа.Докажите неравенство a2b(bc)a+b+b2c(ca)b+c+c2a(ab)c+a0.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  1
8 года 2 месяца назад #

a2b(bc)a+b+b2c(ca)b+c+c2a(ab)c+a0a2b2a+b+b2c2b+c+c2a2c+aa2bca+b+b2cab+c+c2abc+a

(a2b2a+b+b2c2b+c+c2a2c+a)+(ab2ca+b+bc2ab+c+ca2bc+a)(a2bca+b+b2cab+c+c2abc+a)+(ab2ca+b+bc2ab+c+ca2bc+a)

(a2b2a+b+ab2ca+b)+(b2c2b+c+bc2ab+c)+(c2a2c+a+ca2bc+a)(a2bca+b+ab2ca+b)+(b2cab+c+bc2ab+c)+(c2abc+a+ca2bc+a)

ab2(a+c)a+b+bc2(b+a)b+c+ca2(c+b)c+a3abc.

Достаточно доказать последнее неравенство. Для этого применим AM-GM:

ab2(a+c)a+b+bc2(b+a)b+c+ca2(c+b)c+a33ab2(a+c)a+bbc2(b+a)b+cca2(c+b)c+a=3abc

что и требовалось доказать.

  2 | проверено модератором
8 года 2 месяца назад #

a>0,b>0,c>0abc>0

abc(abacac+bc+bcabab+ac+acbcbc+ab)0

{ab=xbc=yac=z

xzz+y+yxx+z+zyy+x0

{x+y=my+z=nx+z=t

x=t+mn2,y=m+nt2,z=n+tm2

mnn+ntt+tmm=(mn+nt+tm)3=S0

S33mnnttm3=33=0

  6
4 года 10 месяца назад #

a2b(bc)a+b+b2c(ca)b+c+c2a(ab)c+a0

(a2b(bc)a+b+abc)+(b2c(ca)b+c+abc)+(c2a(ab)c+a+abc)3abc

ab2(a+c)a+b+bc2(b+a)b+c+ca2(c+b)c+a3abc

AM-GM теңсіздігі бойынша

ab2(a+c)a+b+bc2(b+a)b+c+ca2(c+b)c+a33ab2(a+c)a+bbc2(b+a)b+cca2(c+b)c+a=3abc

  2
3 года 10 месяца назад #

Умножаем каждое так что бы сверху было a2b2(bc)2(ну снизу будет соответсвенно (a+b)b(bc)), делаем это для каждого, и просто используем Дробное Неравенство Коши Буняковского, доказывая что сверху и снизу сумма неотрицательная (это легко сделать через AMGM)

  1
3 года 10 месяца назад #

Ты пишешь что «снизу» будет неотрицательной но это же невозможно. Это утверждение равносильно тому что ab,bc,ca0, но это выполняется не для всех a,b,c.

пред. Правка 2   2
3 года 10 месяца назад #

понял. извиняюсь за неправильное решение

пред. Правка 4   7
2 года 2 месяца назад #

Без ограничения общности abc

bcb+c=1(1b+1c+1a)1a

Поэтому aba+baca+cbcb+c. Также имеем abacbc. По транснеравенству cycaba+babcycaba+baccyca2b(bc)a+b0, что требовалось

  0
1 года 1 месяца назад #

Что такое транснеравенства?

  0
1 года 1 месяца назад #

Транснеравенство-это когда у вас есть первый набор из n чисел:a1a2...an и второй набор тоже из n чисел:b1b2...bn.Тогда a1b1+a2b2+...+anbn будет максимальной то есть a1b1+a2b2+...+anbn других перестановок.Например a1a2;b1b2.Тогда a1b1+a2b2a1b2+b1a2.

  2
1 года 1 месяца назад #

Приводим к общему знаменателю, придётся доказать что (!) a3b3+b3c3+a3c3a2bc3+b2ca3+c2ab3.

По AMGM, a3b3+a3b3+a3c33b2ca3, b3c3+b3c3+a3b33c2ab3, a3c3+a3c3+b3c33a2bc3.