Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Математикадан 27-ші Балкан олимпиадасы, Кишинёв, Молдова, 2010 жыл


Ортоцентрі H нүктесі болатын (ортоцентр —биіктіктердің қиылысу нүктесі) сүйірбұрышты ABC үшбұрышының AC қабырғасының ортасы M нүктесі болсын. AB қабырғасына түсірілген биіктіктің табаны C1 нүктесі, ал H1 нүктесі H нүктесінің AB-ға қатысты симметриясы. P, Q және R нүктелері C1 нүктесінің AH1, AC және BC түзулеріне түсірілген ортогональ проекциялары. PQR үшбұрышыныа сырттай сызылған шеңбердің центрі MM1 кесінідісінің ортасы болатындай M1 нүктесі алынсын.
M1 нүктесі BH1 кесіндісінде жататынын дәлелдеңіздер.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  3
3 года 11 месяца назад #

Пусть L середина BH1. Так как H1 симметрична H относительно AB у нас, BH1C=H1HB=90oHBA=BAC следовательно, четырехугольник ACBH1 вписанный и H1C1L=90o12HBH1=H1HB, следовательно, LC1||BH , и поэтому LC1AC и мы знаем что C1QAC. Следовательно , точки L,C1,Q лежат на одной прямой(коллинеарны) .Откуда Q лежит на окружности (Ω) (с диаметром ML). Теперь мы имеем LPMP=(LC1+C1P)(MA+AP)=C1PMALC1PA=sinH1AC(MAC1PLC1PA)=X и еще , LC1C1P=12H1BH1C1sinβ=121cosBACsinβ=12ACAC1sin(90oH1AB)=MAPA. Или X=0. Поэтому P лежит на окружности (Ω). Аналогично доказывается что R лежит на окружности (Ω) откуда следует что L=M1.

  1
8 месяца 20 дней назад #

Нетрудно заметить, что задачу можно свести к следующему очевидному факту:

Дана коника, внутри которой выбрали точку G, через которую проходят 4 хорды: AE,BF,CH,DI. Для простоты будем считать, что точки на конике располагаются в последовательном порядке A,B,C,D,E,F,H,I. ABCD=K,EFCD=J,KGEF=L,JGAB=M.

Требуется установить, что K,H,I,M лежат на одной прямой. Из теоремы Паскаля, примененной к шестиугольнику IBAECD, следует, что IBEC=N,BACD=K,AEDI=G лежат на одной прямой, а по теореме Паскаля, примененной к шестиугольнику HIBFEC, следует, что HIFE=L,IBEC=N,BFCH=G лежат на одной прямой. Однако NG пересекает прямую EF только в одной точке - L, поэтому L и L совпадают, а значит L лежит на прямой IH.M лежит на IH аналогично.

Лемма:

Проекции основания высоты D (высота из вершины A) на стороны AB,AC, а также точки B,C лежат на одной окружности.

Доказательство:

A лежит на радикальной оси относительно окружностей с диаметрами DB,DC, которые касаются в D, откуда и следует.

Из леммы и леммы Фусса следует, что середины AB,AC и проекции основания высоты D лежат на одной окружности. (H)

К задаче:

C1=C. Середины BC и AH обозначим за D и E соответственно. По (H) PEQM и RDQM вписанные.

Лемма 2:

Проекции вершин на изогонали угла равноудалены от середины.

Доказательство леммы 2 и доказательство вписанности PEQMDR следуют например из композиции поворотных гомотетий и счета углов соответственно. По факту, где коника окружность PQR следует, что BHQC(PQR), но MQC=90, откуда и следует требуемое.

Примечание:

Задача следует из теоремы Брахмагупты+леммы 2 (номер из Акопяна 5.7.14).