Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

27-я Балканская математическая олимпиада
Кишинёв, Молдавия, 2010 год


В остроугольном треугольнике ABC с ортоцентром H (ортоцентр — точка пересечения высот) точка M является серединой стороны AC. Точка C1 стороны AB — основание высоты CC1 треугольника ABC, а точка H1 симметрична H относительно AB. Точки P, Q и R являются ортогональными проекциями точки C1 на прямые AH1, AC и BC, соответственно. Пусть точка M1 такая, что центр описанной окружности треугольника PQR является серединой отрезка MM1.
Докажите, что M1 лежит на отрезке BH1.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  3
3 года 11 месяца назад #

Пусть L середина BH1. Так как H1 симметрична H относительно AB у нас, BH1C=H1HB=90oHBA=BAC следовательно, четырехугольник ACBH1 вписанный и H1C1L=90o12HBH1=H1HB, следовательно, LC1||BH , и поэтому LC1AC и мы знаем что C1QAC. Следовательно , точки L,C1,Q лежат на одной прямой(коллинеарны) .Откуда Q лежит на окружности (Ω) (с диаметром ML). Теперь мы имеем LPMP=(LC1+C1P)(MA+AP)=C1PMALC1PA=sinH1AC(MAC1PLC1PA)=X и еще , LC1C1P=12H1BH1C1sinβ=121cosBACsinβ=12ACAC1sin(90oH1AB)=MAPA. Или X=0. Поэтому P лежит на окружности (Ω). Аналогично доказывается что R лежит на окружности (Ω) откуда следует что L=M1.

  1
8 месяца 23 дней назад #

Нетрудно заметить, что задачу можно свести к следующему очевидному факту:

Дана коника, внутри которой выбрали точку G, через которую проходят 4 хорды: AE,BF,CH,DI. Для простоты будем считать, что точки на конике располагаются в последовательном порядке A,B,C,D,E,F,H,I. ABCD=K,EFCD=J,KGEF=L,JGAB=M.

Требуется установить, что K,H,I,M лежат на одной прямой. Из теоремы Паскаля, примененной к шестиугольнику IBAECD, следует, что IBEC=N,BACD=K,AEDI=G лежат на одной прямой, а по теореме Паскаля, примененной к шестиугольнику HIBFEC, следует, что HIFE=L,IBEC=N,BFCH=G лежат на одной прямой. Однако NG пересекает прямую EF только в одной точке - L, поэтому L и L совпадают, а значит L лежит на прямой IH.M лежит на IH аналогично.

Лемма:

Проекции основания высоты D (высота из вершины A) на стороны AB,AC, а также точки B,C лежат на одной окружности.

Доказательство:

A лежит на радикальной оси относительно окружностей с диаметрами DB,DC, которые касаются в D, откуда и следует.

Из леммы и леммы Фусса следует, что середины AB,AC и проекции основания высоты D лежат на одной окружности. (H)

К задаче:

C1=C. Середины BC и AH обозначим за D и E соответственно. По (H) PEQM и RDQM вписанные.

Лемма 2:

Проекции вершин на изогонали угла равноудалены от середины.

Доказательство леммы 2 и доказательство вписанности PEQMDR следуют например из композиции поворотных гомотетий и счета углов соответственно. По факту, где коника окружность PQR следует, что BHQC(PQR), но MQC=90, откуда и следует требуемое.

Примечание:

Задача следует из теоремы Брахмагупты+леммы 2 (номер из Акопяна 5.7.14).