Математикадан 27-ші Балкан олимпиадасы, Кишинёв, Молдова, 2010 жыл

Есеп №1. Оң нақты

$a$ ,

$b$ ,

$c$ сандары берілсін.

$\dfrac {a^2b(b-c)}{a+b}+\dfrac {b^2c(c-a)}{b+c}+\dfrac {c^2a(a-b)}{c+a}\ge 0$ теңсіздігін дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(10)

Есеп №2. Ортоцентрі

$H$ нүктесі болатын (ортоцентр —биіктіктердің қиылысу нүктесі) сүйірбұрышты

$ABC$ үшбұрышының

$AC$ қабырғасының ортасы

$M$ нүктесі болсын.

$AB$ қабырғасына түсірілген биіктіктің табаны

$C_1$ нүктесі, ал

$H_1$ нүктесі

$H$ нүктесінің

$AB$ -ға қатысты симметриясы.

$P$ ,

$Q$ және

$R$ нүктелері

$C_1$ нүктесінің

$AH_1$ ,

$AC$ және

$BC$ түзулеріне түсірілген ортогональ проекциялары.

$PQR$ үшбұрышыныа сырттай сызылған шеңбердің центрі

$MM_1$ кесінідісінің ортасы болатындай

$M_1$ нүктесі алынсын.

$M_1$ нүктесі

$BH_1$ кесіндісінде жататынын дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(2)

Есеп №3.

$w$ енінің жолағы деп арасы

$w$ болатын екі параллель түзудің бойында жататын немесе сол екі параллель түзудің арасында жататын нүктелер жиынын айтамыз.

$S$ —тің кез келген үш түрлі нүктесі ені 1 болатын жолақпен жабылатындай жазықтықтың

$n$ (

$n \ge 3$ ) нүктесінен тұратын

$S$ жиыны берілсін.

$S$ жиынын ені 2 болатын жолақпен жабуға болатынын дәлелдеңіздер.
комментарий/решение

Есеп №4. Әрбір натурал

$n$ (

$n \ge 2$ ) саны үшін

$f(n)$ арқылы

$n$ -нан аспайтын және

$n$ -мен өзара жай емес барлық натурал сандардың қосындысын белгілейік.
Кез келген натурал

$n$ саны және кез келген

$p$ жай саны үшін

$f(n+p)\neq f(n)$ екенін дәлелдеңіздер.
комментарий/решение

результаты