Математикадан 27-ші Балкан олимпиадасы, Кишинёв, Молдова, 2010 жыл

Есеп №1. Оң нақты $a$, $b$, $c$ сандары берілсін. $ \dfrac {a^2b(b-c)}{a+b}+\dfrac {b^2c(c-a)}{b+c}+\dfrac {c^2a(a-b)}{c+a}\ge 0 $ теңсіздігін дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(10)

---

Есеп №2. Ортоцентрі $H$ нүктесі болатын (ортоцентр —биіктіктердің қиылысу нүктесі) сүйірбұрышты $ABC$ үшбұрышының $AC$ қабырғасының ортасы $M$ нүктесі болсын. $AB$ қабырғасына түсірілген биіктіктің табаны $C_1$ нүктесі, ал $H_1$ нүктесі $H$ нүктесінің $AB$-ға қатысты симметриясы. $P$, $Q$ және $R$ нүктелері $C_1$ нүктесінің $AH_1$, $AC$ және $BC$ түзулеріне түсірілген ортогональ проекциялары. $PQR$ үшбұрышыныа сырттай сызылған шеңбердің центрі $MM_1$ кесінідісінің ортасы болатындай $M_1$ нүктесі алынсын.
$M_1$ нүктесі $BH_1$ кесіндісінде жататынын дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(2)

---

Есеп №3.  $w$ енінің жолағы деп арасы $w$ болатын екі параллель түзудің бойында жататын немесе сол екі параллель түзудің арасында жататын нүктелер жиынын айтамыз. $S$ —тің кез келген үш түрлі нүктесі ені 1 болатын жолақпен жабылатындай жазықтықтың $n $ ($n \ge 3$) нүктесінен тұратын $S$ жиыны берілсін.
$S$ жиынын ені 2 болатын жолақпен жабуға болатынын дәлелдеңіздер.
комментарий/решение

---

Есеп №4. Әрбір натурал $n$ ($n \ge 2$) саны үшін $f(n)$ арқылы $n$-нан аспайтын және $n$-мен өзара жай емес барлық натурал сандардың қосындысын белгілейік.
Кез келген натурал $n$ саны және кез келген $p$ жай саны үшін $f(n+p)\neq f(n)$ екенін дәлелдеңіздер.
комментарий/решение

---