қазақша
русскийМатематикадан 26-шы Балкан олимпиадасы, Крагуевац, Сербия, 2009 жыл
Есеп №1. Натурал сандар жиынында ${{3}^{x}}-{{5}^{y}}={{z}^{2}}$ теңдеуін шешіңіздер.
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Есеп №2. $ABC$ үшбұрышында $MN$ түзуі $BC$ қабырғасына параллель, мұндағы $M$ нүктесі $AB$ кесіндісінде жатыр, ал $N$ нүктесі $AC$ кесіндісінде жатыр. $BN$ және $CM$ түзулері $P$ нүктесінде қиылысады. $BMP$ және $CNP$ үшбұрыштарына сырттай сызылған шеңберлер екі әр түрлі $P$ және $Q$ нүктелерінде қиылысады. $\angle BAQ=\angle CAP$ екенін дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Есеп №3. $9\times 12$ тіктөртбұрышы бірлік квадраттарға бөлінді. Төрт бұрыштық квадраттардан және оған көршілес жатқан сегіз квадраттардан өзге квадраттар центрлері қызыл түске боялған. Келесі екі шартты қанағаттандыратындай боялған қызыл нүктелерді ${{C}_{1}}$, ${{C}_{2}}$, $\dots$, ${{C}_{96}}$ әріптермен белгіліей аламыз ба:
(i) Барлық ${{C}_{1}}{{C}_{2}}$, ${{C}_{2}}{{C}_{3}}$, $\dots$, ${{C}_{95}}{{C}_{96}}$, ${{C}_{96}}{{C}_{1}}$ кесінділерінің ұзындықтары $\sqrt{13}$-ке тең;
(ii) Тұйық ${{C}_{1}}{{C}_{2}}...{{C}_{96}}{{C}_{1}}$ қисығының симметрия центрі болатындай?
комментарий/решение
(i) Барлық ${{C}_{1}}{{C}_{2}}$, ${{C}_{2}}{{C}_{3}}$, $\dots$, ${{C}_{95}}{{C}_{96}}$, ${{C}_{96}}{{C}_{1}}$ кесінділерінің ұзындықтары $\sqrt{13}$-ке тең;
(ii) Тұйық ${{C}_{1}}{{C}_{2}}...{{C}_{96}}{{C}_{1}}$ қисығының симметрия центрі болатындай?
комментарий/решение
Есеп №4. Барлық $m$, $n \in \mathbb{N} $ үшін $f\left( {{{\left( {f\left( m \right)} \right)}^2} + 2{{\left( {f\left( n \right)} \right)}^2}} \right) = {m^2} + 2{n^2}$ шарттарын қанағаттандыратындай барлық $f: \mathbb{N} \to \mathbb{N} $ функцияларын табыңыздар.
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)