Математикадан 26-шы Балкан олимпиадасы, Крагуевац, Сербия, 2009 жыл

Есеп №1. Натурал сандар жиынында

${{3}^{x}}-{{5}^{y}}={{z}^{2}}$ теңдеуін шешіңіздер.
комментарий/решение(2)

Есеп №2.

$ABC$ үшбұрышында

$MN$ түзуі

$BC$ қабырғасына параллель, мұндағы

$M$ нүктесі

$AB$ кесіндісінде жатыр, ал

$N$ нүктесі

$AC$ кесіндісінде жатыр.

$BN$ және

$CM$ түзулері

$P$ нүктесінде қиылысады.

$BMP$ және

$CNP$ үшбұрыштарына сырттай сызылған шеңберлер екі әр түрлі

$P$ және

$Q$ нүктелерінде қиылысады.

$\angle BAQ=\angle CAP$ екенін дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(3)

Есеп №3.

$9\times 12$ тіктөртбұрышы бірлік квадраттарға бөлінді. Төрт бұрыштық квадраттардан және оған көршілес жатқан сегіз квадраттардан өзге квадраттар центрлері қызыл түске боялған. Келесі екі шартты қанағаттандыратындай боялған қызыл нүктелерді

${{C}_{1}}$ ,

${{C}_{2}}$ ,

$\dots$ ,

${{C}_{96}}$ әріптермен белгіліей аламыз ба:
(i) Барлық

${{C}_{1}}{{C}_{2}}$ ,

${{C}_{2}}{{C}_{3}}$ ,

$\dots$ ,

${{C}_{95}}{{C}_{96}}$ ,

${{C}_{96}}{{C}_{1}}$ кесінділерінің ұзындықтары

$\sqrt{13}$ -ке тең;
(ii) Тұйық

${{C}_{1}}{{C}_{2}}...{{C}_{96}}{{C}_{1}}$ қисығының симметрия центрі болатындай?
комментарий/решение

Есеп №4. Барлық

$m$ ,

$n \in \mathbb{N}$ үшін

$f\left( {{{\left( {f\left( m \right)} \right)}^2} + 2{{\left( {f\left( n \right)} \right)}^2}} \right) = {m^2} + 2{n^2}$ шарттарын қанағаттандыратындай барлық

$f: \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ функцияларын табыңыздар.
комментарий/решение(2)

результаты