Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Математикадан 26-шы Балкан олимпиадасы, Крагуевац, Сербия, 2009 жыл


ABC үшбұрышында MN түзуі BC қабырғасына параллель, мұндағы M нүктесі AB кесіндісінде жатыр, ал N нүктесі AC кесіндісінде жатыр. BN және CM түзулері P нүктесінде қиылысады. BMP және CNP үшбұрыштарына сырттай сызылған шеңберлер екі әр түрлі P және Q нүктелерінде қиылысады. BAQ=CAP екенін дәлелдеңіздер.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  1
3 года 11 месяца назад #

Пусть APBC=X.

Пусть BMQ=ACQ=x, QBA=QNC=y и MQB=NQC=z.

Здесь мы делаем замечание, что Q является точкой Микеля Четырехугольник с вершинами B,M,A,N,C,P или же описанные окружности треугольников NPC,BMP,CAM,ABN (которых проходят через одну точку)

AQsinx=MQsinBAQ и AQsiny=NQsinCAQ поэтому sinxsiny=sinBAQsinCAQNQMQ (1).

NQsinx=NCsinz и MQsiny=MBsinz поэтому NQMQ=sinxsinyACAB (2).

(1), (2) sinBAQsinCAQ=ABAC, и хорошо известно, что из этого следует, что AQ симедиана ABC.

Используя Чеву следует что BMMAANNCCXXB=1CX=BX, так как MN||BC.Поэтому AX медиана, следовательно BAQ=CAQ, что и завершает доказательство

  1
9 месяца 6 дней назад #

Заметим, что двигая точку M так, чтобы MN||BC, все точки P будут лежать на 1 прямой. Это можно доказать с помощью барицентрических координат: пусть CN/NA=BM/MA=a и CN1/N1A=BM1/M1A=b;

тогда P(a2,a,a) и P1(b2,b,b). Очевидно, что A(1,0,0), P(a2,a,a) и P1(b2,b,b) лежат на одной прямой, поскольку det у матрицы с такими координатами равен abab=0.

Заметим, что тогда прямая AP остается на месте при движении M причем AP - медиана (возьмем M и N как серединки сторон), а точка Q - фиксирована, поскольку является точкой Микеля для пятерки прямых (3-й воробей).

Тогда просто рассмотрим вырожденный случай для M=N=A, Q - особая точка на симедиане, а симедиана и медиана по определению сопряжены в угле C, ч.т.д

  1
8 месяца 8 дней назад #

Лемма:В треугольнике ABC на сторонах AB и AC выбраны точки M,N так что MN||BC. MCBN=P тогда AP медиана.

Док-Во:

Пусть APBC=K,MNBC=P

1=(C,B,K,P) отсюда лемма доказана.

Заметим что AMQC и ABQN вписаны по свойтву точки микеля.

Совершим инверсию+симетрию с центром в точке A и r2=ABAC тогда B=>C,Q=>Q,M,N=>M,N при этом у нас BMQ и CNQ коллинеарны. И по лемме Q лежит на медиане значит Q лежит на симедиане.