Математикадан 26-шы Балкан олимпиадасы, Крагуевац, Сербия, 2009 жыл
Комментарий/решение:
Пусть AP∩BC=X.
Пусть ∠BMQ=∠ACQ=x, ∠QBA=∠QNC=y и ∠MQB=∠NQC=z.
Здесь мы делаем замечание, что Q является точкой Микеля Четырехугольник с вершинами B,M,A,N,C,P или же описанные окружности треугольников △NPC,△BMP,△CAM,△ABN (которых проходят через одну точку)
AQsinx=MQsin∠BAQ и AQsiny=NQsin∠CAQ поэтому sinxsiny=sin∠BAQsin∠CAQ⋅NQMQ (1).
NQsinx=NCsinz и MQsiny=MBsinz поэтому NQMQ=sinxsiny⋅ACAB (2).
(1), (2) ⟹sin∠BAQsin∠CAQ=ABAC, и хорошо известно, что из этого следует, что AQ симедиана △ABC.
Используя Чеву следует что BMMA⋅ANNC⋅CXXB=1⟹CX=BX, так как MN||BC.Поэтому AX медиана, следовательно ∠BAQ=∠CAQ, что и завершает доказательство
Заметим, что двигая точку M так, чтобы MN||BC, все точки P будут лежать на 1 прямой. Это можно доказать с помощью барицентрических координат: пусть CN/NA=BM/MA=a и CN1/N1A=BM1/M1A=b;
тогда P(a2,a,a) и P1(b2,b,b). Очевидно, что A(1,0,0), P(a2,a,a) и P1(b2,b,b) лежат на одной прямой, поскольку det у матрицы с такими координатами равен ab−ab=0.
Заметим, что тогда прямая AP остается на месте при движении M причем AP - медиана (возьмем M и N как серединки сторон), а точка Q - фиксирована, поскольку является точкой Микеля для пятерки прямых (3-й воробей).
Тогда просто рассмотрим вырожденный случай для M=N=A, Q - особая точка на симедиане, а симедиана и медиана по определению сопряжены в угле C, ч.т.д
Лемма:В треугольнике ABC на сторонах AB и AC выбраны точки M,N так что MN||BC. MC∩BN=P тогда AP медиана.
Док-Во:
Пусть AP∩BC=K,MN∩BC=P∞
−1=(C,B,K,P∞) отсюда лемма доказана.
Заметим что AMQC и ABQN вписаны по свойтву точки микеля.
Совершим инверсию+симетрию с центром в точке A и r2=AB∗AC тогда B=>C,Q=>Q′,M,N=>M′,N′ при этом у нас B−M′−Q′ и C−N′−Q′ коллинеарны. И по лемме Q′ лежит на медиане значит Q лежит на симедиане.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.