26-я Балканская математическая олимпиада
Крагуевац, Сербия, 2009 год

Задача №1.  Решите уравнение ${{3}^{x}}-{{5}^{y}}={{z}^{2}}$ в натуральных числах.
комментарий/решение(2)

---

Задача №2.  Пусть прямая $MN$ параллельна стороне $BC$ треугольника $ABC$, где $M$ принадлежит отрезку $AB$, а $N$ принадлежит отрезку $AC$. Прямые $BN$ и $CM$ пересекаются в точке $P$. Описанные окружности треугольников $BMP$ и $CNP$ пересекаются в двух различных точках $P$ и $Q$. Докажите, что $\angle BAQ=\angle CAP$.
комментарий/решение(3)

---

Задача №3.  Прямоугольник $9\times 12$ разбит на единичные квадратики. Центры всех единичных квадратиков, за исключением четырех угловых квадратиков и восьми квадратиков, которые имеют общую сторону с угловыми квадратиками, покрашены в красный цвет. Возможно ли обозначить эти красные центры буквами ${{C}_{1}}$, ${{C}_{2}}$, $\dots$, ${{C}_{96}}$, чтобы удовлетворялись следующие два условия одновременно:
(i) длины всех отрезков ${{C}_{1}}{{C}_{2}}$, ${{C}_{2}}{{C}_{3}}$, $\dots$, ${{C}_{95}}{{C}_{96}}$, ${{C}_{96}}{{C}_{1}}$ равны $\sqrt{13}$;
(ii) замкнутая ломанная ${{C}_{1}}{{C}_{2}}...{{C}_{96}}{{C}_{1}}$ имеет центр симметрии?
комментарий/решение

---

Задача №4.  Найдите все функции $f: \mathbb{N} \to \mathbb{N} $, удовлетворяющих условию: $f\left( {{{\left( {f\left( m \right)} \right)}^2} + 2{{\left( {f\left( n \right)} \right)}^2}} \right) = {m^2} + 2{n^2},$ при всех $m$, $n \in \mathbb{N} $.
комментарий/решение(2)

---