26-я Балканская математическая олимпиада
Крагуевац, Сербия, 2009 год


Задача №1.  Решите уравнение 3x5y=z2 в натуральных числах.
комментарий/решение(2)
Задача №2.  Пусть прямая MN параллельна стороне BC треугольника ABC, где M принадлежит отрезку AB, а N принадлежит отрезку AC. Прямые BN и CM пересекаются в точке P. Описанные окружности треугольников BMP и CNP пересекаются в двух различных точках P и Q. Докажите, что BAQ=CAP.
комментарий/решение(3)
Задача №3.  Прямоугольник 9×12 разбит на единичные квадратики. Центры всех единичных квадратиков, за исключением четырех угловых квадратиков и восьми квадратиков, которые имеют общую сторону с угловыми квадратиками, покрашены в красный цвет. Возможно ли обозначить эти красные центры буквами C1, C2, , C96, чтобы удовлетворялись следующие два условия одновременно:
(i) длины всех отрезков C1C2, C2C3, , C95C96, C96C1 равны 13;
(ii) замкнутая ломанная C1C2...C96C1 имеет центр симметрии?
комментарий/решение
Задача №4.  Найдите все функции f:NN, удовлетворяющих условию: f((f(m))2+2(f(n))2)=m2+2n2, при всех m, nN.
комментарий/решение(2)
результаты