26-я Балканская математическая олимпиадаКрагуевац, Сербия, 2009 год

Решите уравнение ${{3}^{x}}-{{5}^{y}}={{z}^{2}}$ в натуральных числах.

Комментарий/решение

Единственное решение - это $\boxed{(x,y,z)=(2,1,2)}$. Рассматривая данное уравнение по $\pmod 4$, мы узнаем, что

$$(-1)^x-1\equiv 0,1\pmod{4},$$

поэтому единственная возможность заключается в том, что $x$ и $z$ четные. На самом деле нам не нужно, чтобы $z$ было четным, берем $x=2b$ , $b \in \mathbb N$.Откуда мы имеем

$$3^{2b}-z^2=5^y,$$

Следовательно

$$(3^b-z)(3^b+z)=5^y.$$

пусть первым делителем будет $5^p$, а вторым $5^q$. Мы видим, что $5^p+5^q=2\cdot 3^b$, что означает, что мы должны иметь $p=0$. Поэтому, $3^b-z=1$ и $3^b+z=5^y$, также

$$2\cdot 3^b=5^y+1.$$

Чтобы левая часть была($LHS$) кратна $3$, нужно чтобы $y=2c+1$ была нечетной $c \in \mathbb N$. Затем мы видим, что $3\nmid 5^y-1$, также

$$\nu_3(5^y+1)=\nu_3(25^y-1)=1+\nu_3(y)$$

по "Лемме об уточнении показателя". Откуда $b=1+\nu_3(y)$, также

$$6\cdot 3^{\nu_3(y)}=5^y+1.$$

Но обратите внимание, что $LHS$ не больше $6y$, поэтому мы имеем $5^y+1\le 6y$, или $y\le 1$. Когда $y=1$, мы получаем что $b=1$, также $x=2$. Это значит, что $z^2=9-5=4$, также $z=2$, поэтому решение должно быть тем, которое мы утверждали. Легко убедиться, что это работает, решение окончено.

$2 \cdot 3^b=5^y+1^y$ Теорема Зигмонди тогда выводим $y=1$ потомучто при $y>1$ противоречие $k=1$ тогда $b=1$ откуда $z=2$