Математикадан 24-ші Балкан олимпиадасы, Родос, Греция, 2007 жыл

Есеп №1. $AB=BC=CD$ болатын $ABCD$ дөңес төртбұрышы берілген. $AC$ және $BD$ қабырғалары тең емес және $E$ нүктесінде қиылысады. Дәлелдеңіздер: $AE=DE$ теңдігі орындалады тек және тек сонда ғана егер $\angle BAD+\angle ADC = 120^\circ$ болса.
комментарий/решение(1)

---

Есеп №2. Барлық $x,y \in \mathbb{R}$ үшін $f(f(x)+y) = f(f(x)-y)+4f(x)y ,$ шартын қанағаттандыратын барлық $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} $ функцияларын табыңыздар.
комментарий/решение(1)

---

Есеп №3. $\sqrt{\sigma(1)+\sqrt{\sigma(2)+\sqrt{\ldots+\sqrt{\sigma(n-1)+\sqrt{\sigma(n)}}}}} $ саны рационал болатындай $\{1,2,3, \ldots, n\}$ жиынының $\sigma$ орын ауыстырулары табылатындай барлық $n$ натурал сандарын табыңыздар.
комментарий/решение

---

Есеп №4. $n > 2$ натурал саны берілген. $C_{1}\cap C_{2}, C_{2}\cap C_{3},C_{1}\cap C_{3}$ жиындары ақырлы болатындай үш дөңес $n$-бұрыштың $C_{1},C_{2},C_{3}$ шекаралары болсын. $C_{1}\cap C_{2}\cap C_{3}$ жиынының нүктелер санының мүмкін болатын ең үлкен мәнін табыңыздар.
комментарий/решение

---