Математикадан 24-ші Балкан олимпиадасы, Родос, Греция, 2007 жыл
Есеп №1. AB=BC=CD болатын ABCD дөңес төртбұрышы берілген. AC және BD қабырғалары тең емес және E нүктесінде қиылысады. Дәлелдеңіздер: AE=DE теңдігі орындалады тек және тек сонда ғана егер ∠BAD+∠ADC=120∘ болса.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №2. Барлық x,y∈R үшін f(f(x)+y)=f(f(x)−y)+4f(x)y, шартын қанағаттандыратын барлық f:R→R функцияларын табыңыздар.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №3. √σ(1)+√σ(2)+√…+√σ(n−1)+√σ(n) саны рационал болатындай {1,2,3,…,n} жиынының σ орын ауыстырулары табылатындай барлық n натурал сандарын табыңыздар.
комментарий/решение
комментарий/решение
Есеп №4. n>2 натурал саны берілген. C1∩C2,C2∩C3,C1∩C3 жиындары ақырлы болатындай үш дөңес n-бұрыштың C1,C2,C3 шекаралары болсын. C1∩C2∩C3 жиынының нүктелер санының мүмкін болатын ең үлкен мәнін табыңыздар.
комментарий/решение
комментарий/решение