Математикадан 24-ші Балкан олимпиадасы, Родос, Греция, 2007 жыл

Есеп №1.

$AB=BC=CD$ болатын

$ABCD$ дөңес төртбұрышы берілген.

$AC$ және

$BD$ қабырғалары тең емес және

$E$ нүктесінде қиылысады. Дәлелдеңіздер:

$AE=DE$ теңдігі орындалады тек және тек сонда ғана егер

$\angle BAD+\angle ADC = 120^\circ$ болса.
комментарий/решение(1)

Есеп №2. Барлық

$x,y \in \mathbb{R}$ үшін

$f(f(x)+y) = f(f(x)-y)+4f(x)y ,$ шартын қанағаттандыратын барлық

$f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ функцияларын табыңыздар.
комментарий/решение(1)

Есеп №3.

$\sqrt{\sigma(1)+\sqrt{\sigma(2)+\sqrt{\ldots+\sqrt{\sigma(n-1)+\sqrt{\sigma(n)}}}}}$ саны рационал болатындай

$\{1,2,3, \ldots, n\}$ жиынының

$\sigma$ орын ауыстырулары табылатындай барлық

$n$ натурал сандарын табыңыздар.
комментарий/решение

Есеп №4.

$n > 2$ натурал саны берілген.

$C_{1}\cap C_{2}, C_{2}\cap C_{3},C_{1}\cap C_{3}$ жиындары ақырлы болатындай үш дөңес

$n$ -бұрыштың

$C_{1},C_{2},C_{3}$ шекаралары болсын.

$C_{1}\cap C_{2}\cap C_{3}$ жиынының нүктелер санының мүмкін болатын ең үлкен мәнін табыңыздар.
комментарий/решение

результаты