24-я Балканская математическая олимпиадаРодос, Греция, 2007 год

Найдите все функции $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} $, удовлетворяющие условию $f(f(x)+y) = f(f(x)-y)+4f(x)y ,$ для всех $x,y \in \mathbb{R}$.

Комментарий/решение

$$\color{Red}{f(f(x)+y)=f(f(x)+y)+4f(x)y}$$

$$\color{Blue}{ \left\{ \begin{gathered} f(x)+y=a \\ f(x)-y=b \\ \end{gathered} \right.} {\color{YellowOrange}{\Rightarrow}}$$

$$\Rightarrow \color{Red}{f(x)=\frac{a+b}{2}}, \color{Red}{y=\frac{a-b}{2}}\Rightarrow$$

$$\color{lime}{ f(\color{Red}{a})-f( \color{Red}{b})=\color{Red}{a^2}- \color{Red}{b^2}}\Rightarrow$$

$$\Rightarrow \color{Maroon}{f(x)=\mathbb{P}_2(x)=x^2+\mathbb{C}}$$