24-я Балканская математическая олимпиада
Родос, Греция, 2007 год

Задача №1.  Дан выпуклый четырехугольник $ABCD$, в котором $AB=BC=CD$. Диагонали $AC$ и $BD$ не равны и пересекаются в точке $E$. Докажите, что равенство $AE=DE$ выполняется тогда и только тогда, когда $\angle BAD+\angle ADC = 120^\circ$.
комментарий/решение(1)

---

Задача №2.  Найдите все функции $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, удовлетворяющие условию $f(f(x)+y) = f(f(x)-y)+4f(x)y ,$ для всех $x,y \in \mathbb{R}$.
комментарий/решение(1)

---

Задача №3.  Найдите все натуральные $n$, для которых существует перестановка $\sigma$ множества $\{1,2,3, \ldots, n\}$, что число $$\sqrt{\sigma(1)+\sqrt{\sigma(2)+\sqrt{\ldots+\sqrt{\sigma(n-1)+\sqrt{\sigma(n)}}}}}$$ рациональное.
комментарий/решение

---

Задача №4.  Дано натуральное число $n > 2$. Пусть $C_{1},C_{2},C_{3}$ — границы трёх выпуклых $n$-угольников на плоскости такие, что множества $C_{1}\cap C_{2}, C_{2}\cap C_{3},C_{1}\cap C_{3}$ конечны. Найдите максимально возможное количество точек множества $C_{1}\cap C_{2}\cap C_{3}$.
комментарий/решение

---