Районная олимпиада, 2006-2007 учебный год, 8 класс

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Задача №1. Дописать справа к числу

$523 \ldots$ три цифры так, чтобы полученное шестизначное число делилось на 7, 8 и 9.
комментарий/решение(3)

Задача №2. Три шага папы в длину такие же, как пять шагов его сына. В то время когда папа делает шесть шагов, его сын сделает семь. Папа начал ходьбу, после того как его сын сделал 30 шагов. Сколько шагов папа должен сделать, чтобы догнать сына?
комментарий/решение(1)

Задача №3. Дан выпуклый четырехугольник

$ABCD$ , в котором

$\angle BAC = 20^\circ$ ,

$\angle CAD = 60^\circ$ ,

$\angle ADB = 50^\circ$ и

$\angle BDC = 10^\circ$ . Найдите

$\angle ACB$ .
комментарий/решение(1)

Задача №4. Сколько существует натуральных чисел, меньших тысячи, которые не делятся ни на 5, ни на 7?
комментарий/решение(1)

Задача №5. Какое число больше:

$\frac{1}{{5001}} + \frac{1}{{5002}} + \ldots + \frac{1}{{5100}}$ или

$\frac{1}{49}$ ? Почему?
комментарий/решение(1)

Задача №6. Владелец кодового дипломата забыл двухзначный набор цифр (00-99), с помощью которого открывается дипломат. Он только помнит, что сумма цифр равна 12. Какое минимальное количество вариантов ему следует опробовать, чтобы гарантированно открыть дипломат?
комментарий/решение(1)

Задача №7. Известно, что

$p$ и

$p^2 + 2$ — простые числа. Докажите, что

$p^3 + 2$ — простое число.
комментарий/решение(2)

Задача №8. Ануар, Бауыржан, Сакен и Даурен все весят по-разному. Ануар тяжелее Сакена на 8 кг, а Даурен тяжелее Бауыржана на 4 кг. Сумма весов самого тяжелого и легкого на 2 кг меньше, чем сумма весов остальных двух. Все четверо весят всего 402 кг. Сколько килограмм весит Ануар?
комментарий/решение(1)