Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Районная олимпиада, 2006-2007 учебный год, 8 класс


Известно, что p и p2+2 — простые числа. Докажите, что p3+2 — простое число.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  2
8 года 9 месяца назад #

Доказательство. Остаток квадрата любого числа на 3 равен единице, кроме числа 3. Логично,что p2+2 делится на три. Так как простое число делится на себя и на единицу, а p2+2 делится на 3, делаем вывод, что p2+2 равна 3,но в таком случае p=1,но 1 не является простым. В таком случае p2 делится на три. То есть p=3. Проверка : p=3; p2+2=11; p3+2=29-все простые, что и требовалось доказать

  0
1 года 9 месяца назад #

любое простое число p>3 дает при делении на 6 остаток 1 или 5 (-1). Отсюда следует, что p2+2 при делении на 6 дает остаток 3.

p2+2 делится на 3,

p2+2=3

p=1,1непростоечисло

Противоречие.

p3

p2,таккакp2+2=4

p=3

p2+2=11,p3+2=29