Математикадан 23-ші Балкан олимпиадасы, Агрос, Кипр, 2006 жыл

Есеп №1.

$a$ ,

$b$ және

$c$ сандары оң нақты сандар болсын.

$\dfrac{1}{a(1+b)}+\dfrac{1}{b(1+c)}+\dfrac{1}{c(1+a)}\ge \dfrac{3}{1+abc}$ теңсіздігін дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(3)

Есеп №2.

$ABC$ үшбұрышы берілген.

$AB$ және

$AC$ қабырғаларын кесінде ішінде сәйкесінше

$D$ және

$F$ нүктелерінде,

$BC$ қабырғасының жалғасын

$E$ нүктесінде қиятындай

$m$ түзуі берілген (

$C$ нүктесі

$B$ және

$E$ нүктелерінің арасында жатады).

$A$ ,

$B$ және

$C$ нүктелері арқылы өтетін

$m$ түзуіне параллель түзулер

$ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңберді сәйкесінше

$A_1$ ,

$B_1$ және

$C_1$ нүктелерінде қияды.

$A_1E$ ,

$B_1F$ және

$C_1D$ түзулері бір нүктеде қиылысатынын дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(4)

Есеп №3. Барлық

$m+\dfrac{1}{np}, \quad n+\dfrac{1}{pm}, \quad p+\dfrac{1}{mn}$ сандары бүтін болатын барлық оң рационал

$(m, n, p)$ үштіктерін табыңыздар.
комментарий/решение(2)

Есеп №4. Оң бүтін

$m$ саны берілсін.

$n = 0, 1, \dots$ үшін

$a_0 = a$ және

${{a}_{n+1}}=\left\{ \begin{matrix} \dfrac{1}{2}{{a}_{n}}, \text{~жұп~}{{a}_{n}}, \\ {{a}_{n}}+m, \text{~тақ~}{{a}_{n}}, \\ \end{matrix} \right.$ шартымен анықталған

$\left\{ {{a}_{n}} \right\}_{n=0}^{\infty }$ жиыны кейбір

$k$ саны үшін

$a_0, a_1, \dots, a_k$ түріндегі периодтық цикл болатындай барлық оң бүтін

$a$ сандарын табыңыздар.
комментарий/решение(3)

результаты