Математикадан 23-ші Балкан олимпиадасы, Агрос, Кипр, 2006 жыл
Комментарий/решение:
Решение №1 1a(1+b)+1b(1+c)+1c(1+a)≥31+abc⟺
⟺(1+abc)(1a(1+b)+1b(1+c)+1c(1+a))≥3⟺
⟺1+abca(1+b)+1+abcb(1+c)+1+abcc(1+a)≥3⟺
⟺1+abca(1+b)+1+1+abcb(1+c)+1+1+abcc(1+a)+1≥6⟺
⟺1+abc+a+aba(1+b)+1+abc+b+bcb(1+c)+1+abc+c+acc(1+a)≥6⟺
⟺1+a+ab(1+c)a(1+b)+1+b+bc(1+a)b(1+c)+1+c+ac(1+b)c(1+a)≥6⟺
⟺1+aa(1+b)+ab(1+c)a(1+b)+1+bb(1+c)+bc(1+a)b(1+c)+1+cc(1+a)+ac(1+b)c(1+a)≥6⟺
⟺1+aa(1+b)+b(1+c)(1+b)+1+bb(1+c)+c(1+a)(1+c)+1+cc(1+a)+a(1+b)(1+a)≥6⟺
⟺1+aa(1+b)+b(1+c)(1+b)+1+bb(1+c)+c(1+a)(1+c)+1+cc(1+a)+a(1+b)(1+a)≥
≥66√1+aa(1+b)⋅b(1+c)(1+b)⋅1+bb(1+c)⋅c(1+a)(1+c)⋅1+cc(1+a)⋅a(1+b)(1+a)=6
LHS⋅abc(1+a)(1+b)(1+c)(1+abc)≥RHS⋅abc(1+a)(1+b)(1+c)(1+abc)
a3b2c2+a2b3c2+a2b2c3+a2b3c+ab2c3+a3bc2−2a2bc2−2ab2c2−2a2b2c−2a2bc−2ab2c−2abc2+ab2+bc2+ca2+ab+bc+ca≥0
ab(b+1)(ca−1)2+bc(c+1)(ab−1)2+ca(a+1)(bc−1)2≥0
Пусть : abc=w3a=wxy, b=wzx, c=wyz
∑cyc1w(xy+wzy)≥1w⋅(x+y+z)2(w+1)(xy+xz+yz)
RHS≥3⋅1w(w+1)≥3⋅11+w3◻
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.