23-я Балканская математическая олимпиадаАгрос, Кипр, 2006 год

Пусть $a$, $b$ и $c$ являются действительными положительными числами. Докажите, что \[\frac{1}{a(1+b)}+\frac{1}{b(1+c)}+\frac{1}{c(1+a)}\ge \frac{3}{1+abc}.\]

Комментарий/решение

$\textbf{Решение №1}$ $$\frac{1}{a(1+b)}+\frac{1}{b(1+c)}+\frac{1}{c(1+a)}\geq \frac{3}{1+abc} \Longleftrightarrow $$

$$\Longleftrightarrow (1+abc)\Bigg(\frac{1}{a(1+b)}+\frac{1}{b(1+c)}+\frac{1}{c(1+a)}\Bigg)\geq 3\Longleftrightarrow $$

$$\Longleftrightarrow \frac{1+abc}{a(1+b)}+\frac{1+abc}{b(1+c)}+\frac{1+abc}{c(1+a)}\geq 3\Longleftrightarrow $$

$$\Longleftrightarrow \frac{1+abc}{a(1+b)}+1+\frac{1+abc}{b(1+c)}+1+\frac{1+abc}{c(1+a)}+1\geq 6\Longleftrightarrow $$

$$\Longleftrightarrow \frac{1+abc+a+ab}{a(1+b)}+\frac{1+abc+b+bc}{b(1+c)}+\frac{1+abc+c+ac}{c(1+a)}\geq 6\Longleftrightarrow $$

$$\Longleftrightarrow \frac{1+a+ab(1+c)}{a(1+b)}+\frac{1+b+bc(1+a)}{b(1+c)}+\frac{1+c+ac(1+b)}{c(1+a)}\geq 6\Longleftrightarrow $$

$$\Longleftrightarrow \frac{1+a}{a(1+b)}+\frac{ab(1+c)}{a(1+b)}+\frac{1+b}{b(1+c)}+\frac{bc(1+a)}{b(1+c)}+\frac{1+c}{c(1+a)}+\frac{ac(1+b)}{c(1+a)}\geq 6\Longleftrightarrow $$

$$\Longleftrightarrow \frac{1+a}{a(1+b)}+\frac{b(1+c)}{(1+b)}+\frac{1+b}{b(1+c)}+\frac{c(1+a)}{(1+c)}+\frac{1+c}{c(1+a)}+\frac{a(1+b)}{(1+a)}\geq 6\Longleftrightarrow $$

$$\Longleftrightarrow \frac{1+a}{a(1+b)}+\frac{b(1+c)}{(1+b)}+\frac{1+b}{b(1+c)}+\frac{c(1+a)}{(1+c)}+\frac{1+c}{c(1+a)}+\frac{a(1+b)}{(1+a)}\geq $$

$$\geq 6\sqrt[6]{ \frac{1+a}{a(1+b)}\cdot\frac{b(1+c)}{(1+b)}\cdot\frac{1+b}{b(1+c)}\cdot\frac{c(1+a)}{(1+c)}\cdot\frac{1+c}{c(1+a)}\cdot\frac{a(1+b)}{(1+a)}}=6 $$