23-я Балканская математическая олимпиада
Агрос, Кипр, 2006 год


Задача №1.  Пусть a, b и c являются действительными положительными числами. Докажите, что 1a(1+b)+1b(1+c)+1c(1+a)31+abc.

комментарий/решение(3)
Задача №2.  Пусть заданы треугольник ABC и прямая m, пересекающая стороны AB и AC внутренним образом соответственно в точках D и F, и продолжение BC в точке E (точка C находится между точками B и E). Прямые, параллельные прямой m и проходящие через точки A, B и C, пересекают заново описанную окружность треугольника ABC соответственно в точках A1, B1 и C1. Докажите, что прямые A1E, B1F и C1D пересекаются в одной точке.
комментарий/решение(4)
Задача №3.  Найдите все тройки (m,n,p) положительных рациональных чисел таких, что все числа m+1np,n+1pm,p+1mn
являются целыми.
комментарий/решение(2)
Задача №4.  Пусть m является целым положительным числом. Найдите все целые положительные числа a такие, что последовательность {an}n=0, определенная условиями a0=a и при n=0,1, an+1={12an, при четном an,an+m, при нечетном an,
является периодической с циклом вида a0,a1,,ak для некоторого k.
комментарий/решение(3)
результаты