23-я Балканская математическая олимпиада
Агрос, Кипр, 2006 год
Задача №1. Пусть a, b и c являются действительными положительными числами. Докажите, что
1a(1+b)+1b(1+c)+1c(1+a)≥31+abc.
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Задача №2. Пусть заданы треугольник ABC и прямая m, пересекающая стороны AB и AC внутренним образом соответственно в точках D и F, и продолжение BC в точке E (точка C находится между точками B и E). Прямые, параллельные прямой m и проходящие через точки A, B и C, пересекают заново описанную окружность треугольника ABC соответственно в точках A1, B1 и C1. Докажите, что прямые A1E, B1F и C1D пересекаются в одной точке.
комментарий/решение(4)
комментарий/решение(4)
Задача №3. Найдите все тройки (m,n,p) положительных рациональных чисел таких, что все числа
m+1np,n+1pm,p+1mn
комментарий/решение(2)
являются целыми.
комментарий/решение(2)
Задача №4. Пусть m является целым положительным числом. Найдите все целые положительные числа a такие, что последовательность
{an}∞n=0, определенная условиями a0=a и при n=0,1,…
an+1={12an, при четном an,an+m, при нечетном an,
комментарий/решение(3)
является периодической с циклом вида a0,a1,…,ak для некоторого k.
комментарий/решение(3)