23-я Балканская математическая олимпиада
Агрос, Кипр, 2006 год
Комментарий/решение:
Пусть ω окружность описанная около ABC , пусть T∈DF∩A1B1 тогда ∠FTB1=∠FCB1 так как ∠FCB1=180∘−∠ABB1=180∘−∠A1TF=∠FTB1 тогда FTCB1 вписанный , если G∈ω∩C1D , пусть H∩CT∩ω тогда AG=HA1 , тогда так как ∠TCF=∠TB1F тогда G,F,B1 лежат на одной прямой , но так как ∠B1AC1=∠C1AB=∠C1CB=∠TEC то есть TA1CE вписанный , значит ∠AC1G=∠A1CT=∠A1ET то есть G,A1,E лежат на одной прямой , откуда G точка пересечение A1E, B1F, C1D
Математическая олимпиада Агрос, Кипр, 2006 год
Задача 2. Пусть заданы треугольник АВС и прямая m пересекающая стороны АВ и АС внутренним образом соответственно в точках D и F , и продолжение ВС в точке Е ( точка С находится между точками В и Е ). Прямые, параллельные прямой m и проходящие через точки А, В и С, пересекают заново описанную окружность треугольника АВС соответственно в точках А1 , В1 и С1. Докажите, что прямые А1Е, В1F и С1D пересекают в одной точке.
Решение:
В начале докажем, что Р – точка пересечения прямых С1D и В1F лежит на описанной окружности тругольника АВС. Пусть Р1 – точка пересечения прямой В1F и описанной окружности. Так как прямые ВВ1 и СС1 параллельны, то дуги ВВ1 и В1С равны , то четырехугольник АDFР1 является описанным ( так как сумма углов DFР1 и DAР1 равна 180°)
Пусть прямая Р1D пересекает
описанную окружность треугольника
АВС в точке С2. Посколько углы
АDР1 и АFР1 равны , то будут равны
дуги ВС2 = В1С = ВС1, следовательно
С1 = С2, а также Р1 = Р.
Аналогичным образом прямые
А1Е и В1F пересекают на описанной
окружности треугольника АВС, так как
прямая B1F проходит через точку Р , то эта точка пересечения будет точкой Р. Таким образом прямые А1Е, В1F и С1D пересекаются в точке Р.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.