Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

23-я Балканская математическая олимпиада
Агрос, Кипр, 2006 год


Пусть заданы треугольник ABC и прямая m, пересекающая стороны AB и AC внутренним образом соответственно в точках D и F, и продолжение BC в точке E (точка C находится между точками B и E). Прямые, параллельные прямой m и проходящие через точки A, B и C, пересекают заново описанную окружность треугольника ABC соответственно в точках A1, B1 и C1. Докажите, что прямые A1E, B1F и C1D пересекаются в одной точке.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  3
3 года назад #

Пусть ω окружность описанная около ABC , пусть TDFA1B1 тогда FTB1=FCB1 так как FCB1=180ABB1=180A1TF=FTB1 тогда FTCB1 вписанный , если GωC1D , пусть HCTω тогда AG=HA1 , тогда так как TCF=TB1F тогда G,F,B1 лежат на одной прямой , но так как B1AC1=C1AB=C1CB=TEC то есть TA1CE вписанный , значит AC1G=A1CT=A1ET то есть G,A1,E лежат на одной прямой , откуда G точка пересечение A1E, B1F, C1D

  1
2 года 11 месяца назад #

Математическая олимпиада Агрос, Кипр, 2006 год

Задача 2. Пусть заданы треугольник АВС и прямая m пересекающая стороны АВ и АС внутренним образом соответственно в точках D и F , и продолжение ВС в точке Е ( точка С находится между точками В и Е ). Прямые, параллельные прямой m и проходящие через точки А, В и С, пересекают заново описанную окружность треугольника АВС соответственно в точках А1 , В1 и С1. Докажите, что прямые А1Е, В1F и С1D пересекают в одной точке.

Решение:

В начале докажем, что Р – точка пересечения прямых С1D и В1F лежит на описанной окружности тругольника АВС. Пусть Р1 – точка пересечения прямой В1F и описанной окружности. Так как прямые ВВ1 и СС1 параллельны, то дуги ВВ1 и В1С равны , то четырехугольник АDFР1 является описанным ( так как сумма углов DFР1 и DAР1 равна 180°)

Пусть прямая Р1D пересекает

описанную окружность треугольника

АВС в точке С2. Посколько углы

АDР1 и АFР1 равны , то будут равны

дуги ВС2 = В1С = ВС1, следовательно

С1 = С2, а также Р1 = Р.

Аналогичным образом прямые

А1Е и В1F пересекают на описанной

окружности треугольника АВС, так как

прямая B1F проходит через точку Р , то эта точка пересечения будет точкой Р. Таким образом прямые А1Е, В1F и С1D пересекаются в точке Р.

  0
2 года 11 месяца назад #

Бро, используй "правила набора формул". Это стоит над контейнером где ты пишешь решшение

  0
2 года 11 месяца назад #

Бро, не переписывай условие, в этом нет смысла, используй LATEX, про него узнай в правилах набора формул, или загугли.