Математикадан 23-ші Балкан олимпиадасы, Агрос, Кипр, 2006 жыл
Комментарий/решение:
Пусть m является положительным числом. Найдите все целые положительные числа а такие , что последовательность {a_n }_(n=0)^∞, определенная условиями а0=а и при n=0,1,…
an+1={█(1/2 a_(n ), при четном 〖 a〗_(n )@a_n+m,при нечетном a_(n ) )┤
является периодической с циклом вида a_(0,) a_(1 )…a_(к ) для некоторого k
Решение: Для начала заметим, что если m четно и a = 2kt где t нечетно, тогда ak+j = t + jm для всех j≥0, и, таким образом, последовательность не будет периодичной. Для нечетных m докажем, что ответ будет следующим:
a∈{1,2,…,m}∪ {m+1,m+3,…,2m-2}. ( Заметим, что вторая часть состоит из четных чисел от m+1 до 2m).
Очевидно, что последовательность является периодической тогда и только тогда, когда а встречается как минимум два раза в последовательности ( и следовательно, бесконечно много раз). Пусть a∈{1,2,…,m}∪ {m+1,m+3,…,2m-2}, нетрудно доказать методом математической индукции, что для любого n an ≤ 2m an ≤ m , если an нечетно. (1)
Следовательно, последовательность ограничена, следовательно, имеются её члены, которые равны друг другу. Пусть k – минимальное неотрицательно целое число, для которого ak = ar при некотором r > k. Мы должны доказать, что k=0. От противного, пусть k>0. Если ak≤m, тогда ak = a_(k-1)/2 и ar = a_(r-1)/2, откуда a_(k-1)=a_(r-1), прПусть m является положительным числом. Найдите все целые положительные числа а такие , что последовательность {a_n }_(n=0)^∞, определенная условиями а0=а и при n=0,1,…
an+1={█(1/2 a_(n ), при четном 〖 a〗_(n )@a_n+m,при нечетном a_(n ) )┤
является периодической с циклом вида a_(0,) a_(1 )…a_(к ) для некоторого k
Решение: Для начала заметим, что если m четно и a = 2kt где t нечетно, тогда ak+j = t + jm для всех j≥0, и, таким образом, последовательность не будет периодичной. Для нечетных m докажем, что ответ будет следующим:
a∈{1,2,…,m}∪ {m+1,m+3,…,2m-2}. ( Заметим, что вторая часть состоит из четных чисел от m+1 до 2m).
Очевидно, что последовательность является периодической тогда и только тогда, когда а встречается как минимум два раза в последовательности ( и следовательно, бесконечно много раз). Пусть a∈{1,2,…,m}∪ {m+1,m+3,…,2m-2}, нетрудно доказать методом математической индукции, что для любого n an ≤ 2m an ≤ m , если an нечетно. (1)
Следовательно, последовательность ограничена, следовательно, имеются её члены, которые равны друг другу. Пусть k – минимальное неотрицательно целое число, для которого ak = ar при некотором r > k. Мы должны доказать, что k=0. От противного, пусть k>0. Если ak≤m, тогда ak = a_(k-1)/2 и ar = a_(r-1)/2, откуда a_(k-1)=a_(r-1), противоречие. Если ak >m, тогда ak = ak-1 + m и ar = ar-1 + m и снова ak-1 = ar-1 , противоречие.
Пусть a∈{1,2,…,m}∪ {m+1,m+3,…,2m-2} и aj – наименьший член в последовательности. Очевидно, что aj нечетно. Тогда aj ≤ aj+2 = (a_j+m)/2,откуда aj ≤ m. Из (1) следует, что an ≠ a при n ≥ j ( очевидно при a ≥ 2m+ 1; в противном случае а является нечетным числом из множества
{m+2,m+4,…,2m-1}, то есть не может быть равным нечетному an ). Однако из последнего следует, что последовательность не может быть периодичной начиная с первого члена. Противоречие.
отиворечие. Если ak >m, тогда ak = ak-1 + m и ar = ar-1 + m и снова ak-1 = ar-1 , противоречие.
Пусть a∈{1,2,…,m}∪ {m+1,m+3,…,2m-2} и aj – наименьший член в последовательности. Очевидно, что aj нечетно. Тогда aj ≤ aj+2 = (a_j+m)/2,откуда aj ≤ m. Из (1) следует, что an ≠ a при n ≥ j ( очевидно при a ≥ 2m+ 1; в противном случае а является нечетным числом из множества
{m+2,m+4,…,2m-1}, то есть не может быть равным нечетному an ). Однако из последнего следует, что последовательность не может быть периодичной начиная с первого члена. Противоречие.
Решение: Для начала заметим, что если m четно и a=2kt, где t нечетно, тогда ak+j=t+jm для всех j≥0, и, таким образом, последовательность не будет периодичной.
Для нечетных m докажем, что ответ будет следующим:
a∈{1,2,…,m}∪{m+1,m+3,…,2m−2}.
Заметим, что вторая часть состоит из четных чисел от m+1 до 2m.
Очевидно, что последовательность является периодической тогда и только тогда, когда a встречается как минимум два раза в последовательности (и следовательно, бесконечно много раз).
Пусть a∈{1,2,…,m}∪{m+1,m+3,…,2m−2}. Нетрудно доказать методом математической индукции, что для любого n, an≤2m и an≤m, если an нечетно. (1)
Следовательно, последовательность ограничена, следовательно, имеются её члены, которые равны друг другу. Пусть k – минимальное неотрицательное целое число, для которого ak=ar при некотором r>k. Мы должны доказать, что k=0.
От противного, пусть k>0. Если ak≤m, тогда ak=a(k−1)/2 и ar=a(r−1)/2, откуда ak−1=ar−1, противоречие. Если ak>m, тогда ak=ak−1+m и ar=ar−1+m, и снова ak−1=ar−1, противоречие.
Пусть a∈{1,2,…,m}∪{m+1,m+3,…,2m−2} и aj – наименьший член в последовательности. Очевидно, что aj нечетно. Тогда aj≤aj+2=(aj+m)/2, откуда aj≤m. Из (1) следует, что an≠a при n≥j (очевидно при a≥2m+1; в противном случае a является нечетным числом из множества {m+2,m+4,…,2m−1}, то есть не может быть равным нечетному an). Однако из последнего следует, что последовательность не может быть периодичной, начиная с первого члена. Противоречие.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.