23-я Балканская математическая олимпиадаАгрос, Кипр, 2006 год

Пусть $m$ является целым положительным числом. Найдите все целые положительные числа $a$ такие, что последовательность $\left\{ {{a}_{n}} \right\}_{n=0}^{\infty }$, определенная условиями $a_0 = a$ и при $n = 0, 1, \dots$ \[{{a}_{n+1}}=\left\{ \begin{matrix} \frac{1}{2}{{a}_{n}}, \text{ при четном }{{a}_{n}}, \\ {{a}_{n}}+m, \text{ при нечетном }{{a}_{n}}, \\ \end{matrix} \right.\] является периодической с циклом вида $a_0, a_1, \dots, a_k$ для некоторого $k$.

Комментарий/решение

Пусть m является положительным числом. Найдите все целые положительные числа а такие , что последовательность {a_n }_(n=0)^∞, определенная условиями а0=а и при n=0,1,…

an+1={█(1/2 a_(n ), при четном 〖 a〗_(n )@a_n+m,при нечетном a_(n ) )┤

является периодической с циклом вида a_(0,) a_(1 )…a_(к ) для некоторого k

Решение: Для начала заметим, что если m четно и a = 2kt где t нечетно, тогда ak+j = t + jm для всех j≥0, и, таким образом, последовательность не будет периодичной. Для нечетных m докажем, что ответ будет следующим:

a∈{1,2,…,m}∪ {m+1,m+3,…,2m-2}. ( Заметим, что вторая часть состоит из четных чисел от m+1 до 2m).

Очевидно, что последовательность является периодической тогда и только тогда, когда а встречается как минимум два раза в последовательности ( и следовательно, бесконечно много раз). Пусть a∈{1,2,…,m}∪ {m+1,m+3,…,2m-2}, нетрудно доказать методом математической индукции, что для любого n an ≤ 2m an ≤ m , если an нечетно. (1)

Следовательно, последовательность ограничена, следовательно, имеются её члены, которые равны друг другу. Пусть k – минимальное неотрицательно целое число, для которого ak = ar при некотором r > k. Мы должны доказать, что k=0. От противного, пусть k>0. Если ak≤m, тогда ak = a_(k-1)/2 и ar = a_(r-1)/2, откуда a_(k-1)=a_(r-1), прПусть m является положительным числом. Найдите все целые положительные числа а такие , что последовательность {a_n }_(n=0)^∞, определенная условиями а0=а и при n=0,1,…

an+1={█(1/2 a_(n ), при четном 〖 a〗_(n )@a_n+m,при нечетном a_(n ) )┤

является периодической с циклом вида a_(0,) a_(1 )…a_(к ) для некоторого k

Решение: Для начала заметим, что если m четно и a = 2kt где t нечетно, тогда ak+j = t + jm для всех j≥0, и, таким образом, последовательность не будет периодичной. Для нечетных m докажем, что ответ будет следующим:

a∈{1,2,…,m}∪ {m+1,m+3,…,2m-2}. ( Заметим, что вторая часть состоит из четных чисел от m+1 до 2m).

Очевидно, что последовательность является периодической тогда и только тогда, когда а встречается как минимум два раза в последовательности ( и следовательно, бесконечно много раз). Пусть a∈{1,2,…,m}∪ {m+1,m+3,…,2m-2}, нетрудно доказать методом математической индукции, что для любого n an ≤ 2m an ≤ m , если an нечетно. (1)

Следовательно, последовательность ограничена, следовательно, имеются её члены, которые равны друг другу. Пусть k – минимальное неотрицательно целое число, для которого ak = ar при некотором r > k. Мы должны доказать, что k=0. От противного, пусть k>0. Если ak≤m, тогда ak = a_(k-1)/2 и ar = a_(r-1)/2, откуда a_(k-1)=a_(r-1), противоречие. Если ak >m, тогда ak = ak-1 + m и ar = ar-1 + m и снова ak-1 = ar-1 , противоречие.

Пусть a∈{1,2,…,m}∪ {m+1,m+3,…,2m-2} и aj – наименьший член в последовательности. Очевидно, что aj нечетно. Тогда aj ≤ aj+2 = (a_j+m)/2,откуда aj ≤ m. Из (1) следует, что an ≠ a при n ≥ j ( очевидно при a ≥ 2m+ 1; в противном случае а является нечетным числом из множества

{m+2,m+4,…,2m-1}, то есть не может быть равным нечетному an ). Однако из последнего следует, что последовательность не может быть периодичной начиная с первого члена. Противоречие.

отиворечие. Если ak >m, тогда ak = ak-1 + m и ar = ar-1 + m и снова ak-1 = ar-1 , противоречие.

Пусть a∈{1,2,…,m}∪ {m+1,m+3,…,2m-2} и aj – наименьший член в последовательности. Очевидно, что aj нечетно. Тогда aj ≤ aj+2 = (a_j+m)/2,откуда aj ≤ m. Из (1) следует, что an ≠ a при n ≥ j ( очевидно при a ≥ 2m+ 1; в противном случае а является нечетным числом из множества

{m+2,m+4,…,2m-1}, то есть не может быть равным нечетному an ). Однако из последнего следует, что последовательность не может быть периодичной начиная с первого члена. Противоречие.

ваши решения ужасны. в плане визуала глаза режутся смотря на них, пожалуйста используйте $\LaTeX !$

Решение: Для начала заметим, что если $m$ четно и $a = 2kt$, где $t$ нечетно, тогда $a_{k+j} = t + jm$ для всех $j \geq 0$, и, таким образом, последовательность не будет периодичной.

Для нечетных $m$ докажем, что ответ будет следующим:

\[ a \in \{1,2,\ldots,m\} \cup \{m+1,m+3,\ldots,2m-2\}. \]

Заметим, что вторая часть состоит из четных чисел от $m+1$ до $2m$.

Очевидно, что последовательность является периодической тогда и только тогда, когда $a$ встречается как минимум два раза в последовательности (и следовательно, бесконечно много раз).

Пусть $a \in \{1,2,\ldots,m\} \cup \{m+1,m+3,\ldots,2m-2\}$. Нетрудно доказать методом математической индукции, что для любого $n$, $a_n \leq 2m$ и $a_n \leq m$, если $a_n$ нечетно. (1)

Следовательно, последовательность ограничена, следовательно, имеются её члены, которые равны друг другу. Пусть $k$ – минимальное неотрицательное целое число, для которого $a_k = a_r$ при некотором $r > k$. Мы должны доказать, что $k = 0$.

От противного, пусть $k > 0$. Если $a_k \leq m$, тогда $a_k = a_{(k-1)/2}$ и $a_r = a_{(r-1)/2}$, откуда $a_{k-1} = a_{r-1}$, противоречие. Если $a_k > m$, тогда $a_k = a_{k-1} + m$ и $a_r = a_{r-1} + m$, и снова $a_{k-1} = a_{r-1}$, противоречие.

Пусть $a \in \{1,2,\ldots,m\} \cup \{m+1,m+3,\ldots,2m-2\}$ и $a_j$ – наименьший член в последовательности. Очевидно, что $a_j$ нечетно. Тогда $a_j \leq a_{j+2} = (a_j+m)/2$, откуда $a_j \leq m$. Из (1) следует, что $a_n \neq a$ при $n \geq j$ (очевидно при $a \geq 2m+1$; в противном случае $a$ является нечетным числом из множества $\{m+2,m+4,\ldots,2m-1\}$, то есть не может быть равным нечетному $a_n$). Однако из последнего следует, что последовательность не может быть периодичной, начиная с первого члена. Противоречие.