Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Математикадан 23-ші Балкан олимпиадасы, Агрос, Кипр, 2006 жыл


Оң бүтін m саны берілсін. n=0,1, үшін a0=a және an+1={12an,~жұп~an,an+m,~тақ~an, шартымен анықталған {an}n=0 жиыны кейбір k саны үшін a0,a1,,ak түріндегі периодтық цикл болатындай барлық оң бүтін a сандарын табыңыздар.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  1
2 года 10 месяца назад #

Пусть m является положительным числом. Найдите все целые положительные числа а такие , что последовательность {a_n }_(n=0)^∞, определенная условиями а0=а и при n=0,1,…

an+1={█(1/2 a_(n ), при четном 〖 a〗_(n )@a_n+m,при нечетном a_(n ) )┤

является периодической с циклом вида a_(0,) a_(1 )…a_(к ) для некоторого k

Решение: Для начала заметим, что если m четно и a = 2kt где t нечетно, тогда ak+j = t + jm для всех j≥0, и, таким образом, последовательность не будет периодичной. Для нечетных m докажем, что ответ будет следующим:

a∈{1,2,…,m}∪ {m+1,m+3,…,2m-2}. ( Заметим, что вторая часть состоит из четных чисел от m+1 до 2m).

Очевидно, что последовательность является периодической тогда и только тогда, когда а встречается как минимум два раза в последовательности ( и следовательно, бесконечно много раз). Пусть a∈{1,2,…,m}∪ {m+1,m+3,…,2m-2}, нетрудно доказать методом математической индукции, что для любого n an ≤ 2m an ≤ m , если an нечетно. (1)

Следовательно, последовательность ограничена, следовательно, имеются её члены, которые равны друг другу. Пусть k – минимальное неотрицательно целое число, для которого ak = ar при некотором r > k. Мы должны доказать, что k=0. От противного, пусть k>0. Если ak≤m, тогда ak = a_(k-1)/2 и ar = a_(r-1)/2, откуда a_(k-1)=a_(r-1), прПусть m является положительным числом. Найдите все целые положительные числа а такие , что последовательность {a_n }_(n=0)^∞, определенная условиями а0=а и при n=0,1,…

an+1={█(1/2 a_(n ), при четном 〖 a〗_(n )@a_n+m,при нечетном a_(n ) )┤

является периодической с циклом вида a_(0,) a_(1 )…a_(к ) для некоторого k

Решение: Для начала заметим, что если m четно и a = 2kt где t нечетно, тогда ak+j = t + jm для всех j≥0, и, таким образом, последовательность не будет периодичной. Для нечетных m докажем, что ответ будет следующим:

a∈{1,2,…,m}∪ {m+1,m+3,…,2m-2}. ( Заметим, что вторая часть состоит из четных чисел от m+1 до 2m).

Очевидно, что последовательность является периодической тогда и только тогда, когда а встречается как минимум два раза в последовательности ( и следовательно, бесконечно много раз). Пусть a∈{1,2,…,m}∪ {m+1,m+3,…,2m-2}, нетрудно доказать методом математической индукции, что для любого n an ≤ 2m an ≤ m , если an нечетно. (1)

Следовательно, последовательность ограничена, следовательно, имеются её члены, которые равны друг другу. Пусть k – минимальное неотрицательно целое число, для которого ak = ar при некотором r > k. Мы должны доказать, что k=0. От противного, пусть k>0. Если ak≤m, тогда ak = a_(k-1)/2 и ar = a_(r-1)/2, откуда a_(k-1)=a_(r-1), противоречие. Если ak >m, тогда ak = ak-1 + m и ar = ar-1 + m и снова ak-1 = ar-1 , противоречие.

Пусть a∈{1,2,…,m}∪ {m+1,m+3,…,2m-2} и aj – наименьший член в последовательности. Очевидно, что aj нечетно. Тогда aj ≤ aj+2 = (a_j+m)/2,откуда aj ≤ m. Из (1) следует, что an ≠ a при n ≥ j ( очевидно при a ≥ 2m+ 1; в противном случае а является нечетным числом из множества

{m+2,m+4,…,2m-1}, то есть не может быть равным нечетному an ). Однако из последнего следует, что последовательность не может быть периодичной начиная с первого члена. Противоречие.

отиворечие. Если ak >m, тогда ak = ak-1 + m и ar = ar-1 + m и снова ak-1 = ar-1 , противоречие.

Пусть a∈{1,2,…,m}∪ {m+1,m+3,…,2m-2} и aj – наименьший член в последовательности. Очевидно, что aj нечетно. Тогда aj ≤ aj+2 = (a_j+m)/2,откуда aj ≤ m. Из (1) следует, что an ≠ a при n ≥ j ( очевидно при a ≥ 2m+ 1; в противном случае а является нечетным числом из множества

{m+2,m+4,…,2m-1}, то есть не может быть равным нечетному an ). Однако из последнего следует, что последовательность не может быть периодичной начиная с первого члена. Противоречие.

  0
2 года 10 месяца назад #

ваши решения ужасны. в плане визуала глаза режутся смотря на них, пожалуйста используйте LATEX!

пред. Правка 2   1
1 года 3 месяца назад #

Решение: Для начала заметим, что если m четно и a=2kt, где t нечетно, тогда ak+j=t+jm для всех j0, и, таким образом, последовательность не будет периодичной.

Для нечетных m докажем, что ответ будет следующим:

a{1,2,,m}{m+1,m+3,,2m2}.

Заметим, что вторая часть состоит из четных чисел от m+1 до 2m.

Очевидно, что последовательность является периодической тогда и только тогда, когда a встречается как минимум два раза в последовательности (и следовательно, бесконечно много раз).

Пусть a{1,2,,m}{m+1,m+3,,2m2}. Нетрудно доказать методом математической индукции, что для любого n, an2m и anm, если an нечетно. (1)

Следовательно, последовательность ограничена, следовательно, имеются её члены, которые равны друг другу. Пусть k – минимальное неотрицательное целое число, для которого ak=ar при некотором r>k. Мы должны доказать, что k=0.

От противного, пусть k>0. Если akm, тогда ak=a(k1)/2 и ar=a(r1)/2, откуда ak1=ar1, противоречие. Если ak>m, тогда ak=ak1+m и ar=ar1+m, и снова ak1=ar1, противоречие.

Пусть a{1,2,,m}{m+1,m+3,,2m2} и aj – наименьший член в последовательности. Очевидно, что aj нечетно. Тогда ajaj+2=(aj+m)/2, откуда ajm. Из (1) следует, что ana при nj (очевидно при a2m+1; в противном случае a является нечетным числом из множества {m+2,m+4,,2m1}, то есть не может быть равным нечетному an). Однако из последнего следует, что последовательность не может быть периодичной, начиная с первого члена. Противоречие.