Районная олимпиада, 2005-2006 учебный год, 10 класс

Задача №1. Найдите все тройки вещественных чисел

$(a, b, c)$ такие, что для любых вещественных чисел

$x$ ,

$y$ ,

$z$ выполняется тождество

$|ax+by+cz|+|bx+cy+az|+|cx+ay+bz|=|x|+|y|+|z|.$
комментарий/решение

Задача №2. Трапеция

$ABCD$ с

$AB \parallel CD$ имеет стороны

$AB=8$ ,

$BC=5$ ,

$CD=4$ и

$AD=3$ . Найдите площадь треугольника

$CDE$ , где

$E$ — точка пересечения биссектрис углов

$ADC$ и

$BCD$ .
комментарий/решение(1)

Задача №3. Для скольких натуральных чисел

$m$ , не превосходящих 100, дробь

$\dfrac{m+4}{m^2+7}$ будет несократимой.
комментарий/решение

Задача №4. Докажите, что если

$b>2ac$ , то уравнение

$ax^2+bx+c=0$ с натуральными коэффициентами

$a$ ,

$b$ ,

$c$ может иметь только иррациональные корни.
комментарий/решение(1)

Задача №5. На плоскости введена система координат

$Oxy$ . Найдите число всех треугольников, вершины которых имеют целочисленные координаты

$(x,y)$ ,

$1\leq x,y\leq 4$ .
комментарий/решение

Задача №6. Единичные квадраты

$ABCD$ и

$EFGH$ имеют стороны

$AB||EF$ и площадь пересечения 1/16. Найдите минимальное возможное расстояние между центрами этих квадратов.
комментарий/решение