Математикадан аудандық олимпиада, 2005-2006 оқу жылы, 10 сынып

Есеп №1. Кез келген

$x,y,z$ нақты сандары үшін

$|ax+by+cz|+|bx+cy+az|+|cx+ay+bz|=|x|+|y|+|z|$ тепе-теңдігі орындалатындай барлық

$(a,b,c)$ нақты сандар үштігін анықта.
комментарий/решение

Есеп №2.

$ABCD$ трапециясында

$AB \parallel CD$ , ал қабырғалары

$AB=8$ ,

$BC=5$ ,

$CD=4$ және

$AD=3$ . Егер

$E$ —

$ADC$ және

$BCD$ бұрыштарының биссектрисаларының қиылысу нүктесі болса,

$CDE$ үшбұрышының ауданын тап.
комментарий/решение(1)

Есеп №3. 100-ден аспайтын қанша натурал

$m$ саны үшін

$\dfrac{m+4}{{{m}^{2}}+7}$ қысқармайтын бөлшек болады?
комментарий/решение

Есеп №4. Егер

$b > 2ac$ болса, натурал

$a,b,c$ коэффициенттері бар

$a{{x}^{2}}+bx+c=0$ теңдеуінің түбірлері иррационал екенін дәлелде.
комментарий/решение(1)

Есеп №5. Жазықтықта

$Oxy$ координаттар жүйесі енгізілген. Төбелерінің

$(x,y)$ координаттары бүтін және

$1\le x,y\le 4$ болатын барлық үшбұрыштардың санын тап.
комментарий/решение

Есеп №6.

$AB \parallel EF$ болатын

$ABCD$ және

$EFGH$ бірлік квадраттарының қиылысу ауданы

${1}/{16}$ -ге тең. Осы квадраттардың центрлерінің ара қашықтығының ең аз мүмкін мәнін тап.
комментарий/решение