Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Математикадан аудандық олимпиада, 2005-2006 оқу жылы, 10 сынып


Егер b>2ac болса, натурал a,b,c коэффициенттері бар ax2+bx+c=0 теңдеуінің түбірлері иррационал екенін дәлелде.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  5 | Модератормен тексерілді
6 года 9 месяца назад #

Рассмотрим квадратное уравнение ax2+bx+c=0. Его корни будут x1,2=b±b24ac2a. Из этого следует, что корни будут иррациональны в случае, если b24ac не являются полным квадратом.

Лемма:если натуральное число зажато межу двумя последовательными квадратами, то такое число не может быть полным квадратом

Теперь покажем, что (b1)2<b24ac<b2 Правая часть очевидна: 4ac>0 так как a,cN Теперь докажем левую часть (b1)2<b24ac 2b+1<4ac 2b1>4ac Так как b>2ac, то 2b4ac+1 отсюда 2b14ac+1>4ac Лемму строго доказать я не могу