Районная олимпиада, 2005-2006 учебный год, 10 класс

Докажите, что если $b>2ac$, то уравнение $ax^2+bx+c=0$ с натуральными коэффициентами $a$, $b$, $c$ может иметь только иррациональные корни.

Комментарий/решение

Рассмотрим квадратное уравнение $ax^2+bx+c=0$. Его корни будут $x_{1,2}=\dfrac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$. Из этого следует, что корни будут иррациональны в случае, если $b^2-4ac$ не являются полным квадратом.

Лемма:если натуральное число зажато межу двумя последовательными квадратами, то такое число не может быть полным квадратом

Теперь покажем, что $(b-1)^2<b^2-4ac<b^2$ Правая часть очевидна: $4ac>0$ так как $a,c\in N$ Теперь докажем левую часть $$(b-1)^2<b^2-4ac$$ $$-2b+1<-4ac$$ $$2b-1>4ac$$ Так как $b>2ac$, то $2b \geq 4ac+1$ отсюда $$2b-1 \geq 4ac+1>4ac$$ Лемму строго доказать я не могу