қазақша
русскийРайонная олимпиада, 2005-2006 учебный год, 10 класс
Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке
Задача №1. Найдите все тройки вещественных чисел $(a, b, c)$ такие, что для любых вещественных чисел $x$, $y$, $z$ выполняется тождество $$|ax+by+cz|+|bx+cy+az|+|cx+ay+bz|=|x|+|y|+|z|.$$
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №2. Трапеция $ABCD$ с $AB \parallel CD$ имеет стороны $AB=8$, $BC=5$, $CD=4$ и $AD=3$. Найдите площадь треугольника $CDE$, где $E$ — точка пересечения биссектрис углов $ADC$ и $BCD$.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №3. Для скольких натуральных чисел $m$, не превосходящих 100, дробь
$\dfrac{m+4}{m^2+7}$ будет несократимой.
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №4. Докажите, что если $b>2ac$, то уравнение $ax^2+bx+c=0$ с натуральными
коэффициентами $a$, $b$, $c$ может иметь только иррациональные корни.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №5. На плоскости введена система координат $Oxy$. Найдите число всех треугольников, вершины
которых имеют целочисленные координаты $(x,y)$, $1\leq x,y\leq 4$.
комментарий/решение
комментарий/решение
Задача №6. Единичные квадраты $ABCD$ и $EFGH$ имеют стороны $AB||EF$ и площадь пересечения 1/16.
Найдите минимальное возможное расстояние между центрами этих квадратов.
комментарий/решение
комментарий/решение