Районная олимпиада, 2014-2015 учебный год, 9 класс

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Задача №1. Выпуклый пятиугольник

$ABCDE$ вписан в окружность. Известно, что

$\angle CAD=50^\circ$ . Найдите сумму

$\angle ABC+\angle AED$ .
комментарий/решение(2)

Задача №2. Найдите все простые числа

$p$ , для которых существует такое натуральное

$n$ , что

$p\left( p+n \right)+p={{\left( n+1 \right)}^{3}}$ .
комментарий/решение(1)

Задача №3. Докажите, что

$\sqrt{100+\sqrt{99+\sqrt{98+\ldots +\sqrt{2+\sqrt{1}}}}}<11$ .
комментарий/решение(4)

Задача №4. Школьники сдавали экзамен, на котором было предложено три задачи.

$98 \%$ школьников решили первую задачу,

$90 \%$ — вторую и

$85 \%$ — третью. Все три задачи решили

$x \%$ школьников. Найдите наименьшее и наибольшее возможные значения

$x$ .
комментарий/решение(1)

Задача №5. В каждой клетке прямоугольной таблицы стоит действительное число, причем в таблице нет одинаковых чисел. В каждой строке выбрано наибольшее число,

$A$ — наименьшее из них. В каждом столбце выбрано наименьшее число,

$B$ — наибольшее из них. Сравните числа

$A$ и

$B$ .
комментарий/решение(1)

Задача №6. В треугольнике

$ABC$ биссектриса внутреннего угла при вершине

$B$ и биссектриса внешнего угла при вершине

$C$ пересекаются в точке

$D$ . Окружность, описанная около треугольника

$ABC$ , пересекает прямую

$BD$ повторно в точке

$E$ . Докажите, что

$E$ — центр описанной около треугольника

$ACD$ окружности.
комментарий/решение(1)