Районная олимпиада, 2014-2015 учебный год, 9 класс

Докажите, что $\sqrt{100+\sqrt{99+\sqrt{98+\ldots +\sqrt{2+\sqrt{1}}}}}<11$.

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Указание. Для любого $n$ по индукции докажите неравенство $$\sqrt {n + \sqrt {n - 1 + \ldots + \sqrt {2 + \sqrt 1 } } } < \sqrt{n} + 1.$$ Для нашей задачи достаточно взять $n=100$.

$\underset{n}{\underbrace{\sqrt{a+\sqrt{a+...+\sqrt{a}}}}}\leq \frac{1+\sqrt{4a+1}}{2}$, $a\geq 0$ теңсіздігін қолдансақ:

$\sqrt{100+\sqrt{99+...+\sqrt{1}}}< \sqrt{100+\sqrt{100+...+\sqrt{100}}}.$

Онда: $\sqrt{100+\sqrt{99+...+\sqrt{1}}}< \frac{1+\sqrt{4\cdot 100+1}}{2}=\frac{1+\sqrt{401}}{2}< 11.$

Можно спросить, почему вы взяли все это уравнение меньше либо равно $\dfrac{1+ \sqrt {4 \cdot 100 + 1}}{2}$

Возьмите это выражение как $S$, тогда если взять его в квадрат и отнять $a$ вы опять получите $S$, то есть $S^2-a=S \rightarrow S^2-S-a=0$, соответственно $S= \frac{1-\sqrt{4a+1}}{2},$ или $S=\frac{1+\sqrt{4a+1}}{2}$.