қазақша
русскийРайонная олимпиада, 2014-2015 учебный год, 9 класс
Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке
Задача №1. Выпуклый пятиугольник $ABCDE$ вписан в окружность. Известно, что $\angle CAD=50^\circ$. Найдите сумму $\angle ABC+\angle AED$.
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Задача №2. Найдите все простые числа $p$, для которых существует такое натуральное $n$, что $p\left( p+n \right)+p={{\left( n+1 \right)}^{3}}$.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №3. Докажите, что $\sqrt{100+\sqrt{99+\sqrt{98+\ldots +\sqrt{2+\sqrt{1}}}}}<11$.
комментарий/решение(4)
комментарий/решение(4)
Задача №4. Школьники сдавали экзамен, на котором было предложено три задачи. $98 \%$ школьников решили первую задачу, $90 \%$ — вторую и $85 \%$ — третью. Все три задачи решили $x \%$ школьников. Найдите наименьшее и наибольшее возможные значения $x$.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №5. В каждой клетке прямоугольной таблицы стоит действительное число, причем в таблице нет одинаковых чисел. В каждой строке выбрано наибольшее число, $A$ — наименьшее из них. В каждом столбце выбрано наименьшее число, $B$ — наибольшее из них. Сравните числа $A$ и $B$.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №6. В треугольнике $ABC$ биссектриса внутреннего угла при вершине $B$ и биссектриса внешнего угла при вершине $C$ пересекаются в точке $D$. Окружность, описанная около треугольника $ABC$, пересекает прямую $BD$ повторно в точке $E$. Докажите, что $E$ — центр описанной около треугольника $ACD$ окружности.
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)