1-ші халықаралық Жәутіков олимпиадасы, үлкен лига, 2005 жыл

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Есеп №1. Берілген ${{x}^{5}}+31={{y}^{2}}$ теңдеуінің бүтін сандар жиынында шешімі жоқ екенін дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(1)

---

Есеп №2. Бір $r$ нақты саны берілген. Бір оң нақты сандардан тұратын $\{{{a}_{n}}\}$ тізбегінің әрбір натурал $m$ үшін ${{a}_{1}}+{{a}_{2}}+\ldots+{{a}_{m+1}}\le r{{a}_{m}}$ теңсіздігін қанағаттандыратыны белгілі. Онда $r\ge 4$ екенін дәлелде.
комментарий/решение(1)

---

Есеп №3. $SABC$ — дұрыс үшбұрыштық пирамида, яғни, $SA=SB=SC$ және $AB=BC=AC$. Кеңістікте $\left| \cos {{\delta }_{A}}-2\cos {{\delta }_{B}}-2\cos {{\delta }_{C}} \right|=3$ теңдігін қанағаттандыратын $D$ ($D\ne S$) нүктелерінің геометриялық орынын табыңыздар, мұнда әрбір $X\in \{A,B,C\}$ үшін ${{\delta }_{X}}=\angle XSD$.
комментарий/решение(1)

---

Есеп №4. Егер дөңес төртбұрыштың ішкі $X$ нүктесінен $YZ$ түзуіне түсірілген перпендикулярдың табаны $[YZ]$ кесіндісінде жатса, онда $X$ нүктесін төртбұрыштың $YZ$ қабырғасынан қадағаланады деп санаймыз. Дөңес төртбұрыштың ішкі $X$ нүктесі төртбұрыштың тура $k$ қабырғасынан қадағаланса, онда оны $k$-нүкте деп атаймыз (мысалы, квадратта әрбір ішкі нүкте 4-нүктесі болады). Егер дөңес төртбұрыштың ішінде 1-нүктесі бар болса, онда әрбір $k \in {2,3,4}$ үшін $k$-нүктесі бар болатынын дәлелдеңдер.
комментарий/решение

---

Есеп №5. Кез келген оң нақты $a$, $b$, $c$ және $d$ сандары үшін $\dfrac{c}{a+2b}+\dfrac{d}{b+2c}+\dfrac{a}{c+2d}+\dfrac{b}{d+2a}\ge \dfrac{4}{3}$. теңсіздігін дәлелдеңдер.
комментарий/решение(2)

---

Есеп №6. 2005-тен аспайтын мынандай барлық $p$ және $q$ жай сандарын табыңдар: ${{p}^{2}}+8$ саны $q$-ға бөлінеді, ал ${{q}^{2}}+8$ саны $p$-ға бөлінеді.
комментарий/решение

---