1-ші халықаралық Жәутіков олимпиадасы, үлкен лига, 2005 жыл

Есеп №1. Берілген

${{x}^{5}}+31={{y}^{2}}$ теңдеуінің бүтін сандар жиынында шешімі жоқ екенін дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(1)

Есеп №2. Бір

$r$ нақты саны берілген. Бір оң нақты сандардан тұратын

$\{{{a}_{n}}\}$ тізбегінің әрбір натурал

$m$ үшін

${{a}_{1}}+{{a}_{2}}+\ldots+{{a}_{m+1}}\le r{{a}_{m}}$ теңсіздігін қанағаттандыратыны белгілі. Онда

$r\ge 4$ екенін дәлелде.
комментарий/решение(1)

Есеп №3.

$SABC$ — дұрыс үшбұрыштық пирамида, яғни,

$SA=SB=SC$ және

$AB=BC=AC$ . Кеңістікте

$\left| \cos {{\delta }_{A}}-2\cos {{\delta }_{B}}-2\cos {{\delta }_{C}} \right|=3$ теңдігін қанағаттандыратын

$D$ (

$D\ne S$ ) нүктелерінің геометриялық орынын табыңыздар, мұнда әрбір

$X\in \{A,B,C\}$ үшін

${{\delta }_{X}}=\angle XSD$ .
комментарий/решение(1)

Есеп №4. Егер дөңес төртбұрыштың ішкі

$X$ нүктесінен

$YZ$ түзуіне түсірілген перпендикулярдың табаны

$[YZ]$ кесіндісінде жатса, онда

$X$ нүктесін төртбұрыштың

$YZ$ қабырғасынан қадағаланады деп санаймыз. Дөңес төртбұрыштың ішкі

$X$ нүктесі төртбұрыштың тура

$k$ қабырғасынан қадағаланса, онда оны

$k$ -нүкте деп атаймыз (мысалы, квадратта әрбір ішкі нүкте 4-нүктесі болады). Егер дөңес төртбұрыштың ішінде 1-нүктесі бар болса, онда әрбір

$k \in {2,3,4}$ үшін

$k$ -нүктесі бар болатынын дәлелдеңдер.
комментарий/решение

Есеп №5. Кез келген оң нақты

$a$ ,

$b$ ,

$c$ және

$d$ сандары үшін

$\dfrac{c}{a+2b}+\dfrac{d}{b+2c}+\dfrac{a}{c+2d}+\dfrac{b}{d+2a}\ge \dfrac{4}{3}$ . теңсіздігін дәлелдеңдер.
комментарий/решение(3)

Есеп №6. 2005-тен аспайтын мынандай барлық

$p$ және

$q$ жай сандарын табыңдар:

${{p}^{2}}+8$ саны

$q$ -ға бөлінеді, ал

${{q}^{2}}+8$ саны

$p$ -ға бөлінеді.
комментарий/решение

результаты