1-я Международная Жаутыковская олимпиада, 2005 год, старшая лига

Пусть $SABC$ — правильная треугольная пирамида, т.е. $SA=SB=SC$ и $AB=BC=AC$. Найдите геометрическое место точек $D$ ($D\ne S$) пространства, удовлетворяющих уравнению $$|\cos\delta_A-2\cos\delta_B-2\cos\delta_C|=3,$$ где угол $\delta_X=\angle XSD$ для каждого $X\in\{A, B, C\}$.

Комментарий/решение

Пусть $AB=a$ и высота пирамиды $h=b$.

Впишем в пространственную плоскость $XYZ$ так что $AC$ совпадала с осью $OX$ и $A$ начало координат:

$ A(0,0,0), \ B( \dfrac{a}{2}, \dfrac{a \sqrt{3}}{2},0), \ C(a,0,0), \ S(\dfrac{a}{2}, \dfrac{ a \cdot \sqrt{3}}{6}, b) $ пусть $D(x,y,z)$

Тогда

$\vec{SA}(-\dfrac{a}{2}, -\dfrac{ a \cdot \sqrt{3}}{6}, -b), \ \vec{SB}(0, \dfrac{a \sqrt{3}}{3} , -b), \ \vec{SC}( \dfrac{a}{2}, -\dfrac{a \sqrt{3}}{6}, -b), \ \ \vec{SD}(x- \dfrac{a}{2}, y-\dfrac{a \sqrt{3}}{6}, z-b)$

Так как $SA=SB=SC$ пусть тогда $|SA| \cdot |SD| = \sqrt{(\dfrac{a^2}{3}+b^2)((x-\dfrac{a}{2})^2+(y-\dfrac{a \sqrt{3}}{6})^2+(z-b)^2)}$ и используя то что

$$cos(a,b) = \dfrac{(a,b)}{|a||b|}$$

Тогда условие в задаче, возведя в квадрат преобразуется:

$\left( 2a^2-3ax-\sqrt{3}ay-6b^2+6bz \right) ^ 2 =36(\dfrac{a^2}{3}+b^2)((x-\dfrac{a}{2})^2+(y-\dfrac{a \sqrt{3}}{6})^2+(z-b)^2)$

$3(a(2a-3x-\sqrt{3}y)+6b(z-b))^2 = (a^2+3b^2)(9(2x-a)^2+(6y-a \sqrt{3})^2 + 36(z-b)^2)$

$t=z-b, \ n=a(2a-3x-\sqrt{3}y) , \ m=9(2x-a)^2+(6y-a \sqrt{3})^2$

$3(n+6bt)^2 = (a^2+3b^2)(m + 36t^2)$

$ 36a^2t^2-36bnt+a^2m-3n^2+3b^2m=0 $

$ D=(36bn)^2-144a^2(a^2m-3n^2+3b^2m) = 144(a^2+3b^2)(3n^2-a^2m)=144(a^2+3b^2)=-144(a^2+3b^2) \cdot 9a^2( x - \sqrt{3}y)^2$

откуда $y=\dfrac{x}{\sqrt{3}}, \ z=\dfrac{2ab-2bx}{a} $

На плоскости $z$ лежит точки $S,C$ при подстановки их координат, прямая $y=\dfrac{x}{\sqrt{3}}$ есть уравнений биссектрисы $AL$.

ГМТ: Проведем плоскость $\alpha \perp ABC$ и проходящий через $AC$ и плоскость $\beta \perp \alpha$ и проходящая $SC$ и проведем плоскость $\gamma \perp ABC$ и проходящая через биссектрису $AL$ , тогда ГМТ есть прямая $T$ которая образуется при $\beta \cap \gamma$