1-ші халықаралық Жәутіков олимпиадасы, үлкен лига, 2005 жыл
Комментарий/решение:
Пусть AB=a и высота пирамиды h=b.
Впишем в пространственную плоскость XYZ так что AC совпадала с осью OX и A начало координат:
A(0,0,0), B(a2,a√32,0), C(a,0,0), S(a2,a⋅√36,b) пусть D(x,y,z)
Тогда
→SA(−a2,−a⋅√36,−b), →SB(0,a√33,−b), →SC(a2,−a√36,−b), →SD(x−a2,y−a√36,z−b)
Так как SA=SB=SC пусть тогда |SA|⋅|SD|=√(a23+b2)((x−a2)2+(y−a√36)2+(z−b)2) и используя то что
cos(a,b)=(a,b)|a||b|
Тогда условие в задаче, возведя в квадрат преобразуется:
(2a2−3ax−√3ay−6b2+6bz)2=36(a23+b2)((x−a2)2+(y−a√36)2+(z−b)2)
3(a(2a−3x−√3y)+6b(z−b))2=(a2+3b2)(9(2x−a)2+(6y−a√3)2+36(z−b)2)
t=z−b, n=a(2a−3x−√3y), m=9(2x−a)2+(6y−a√3)2
3(n+6bt)2=(a2+3b2)(m+36t2)
36a2t2−36bnt+a2m−3n2+3b2m=0
D=(36bn)2−144a2(a2m−3n2+3b2m)=144(a2+3b2)(3n2−a2m)=144(a2+3b2)=−144(a2+3b2)⋅9a2(x−√3y)2
откуда y=x√3, z=2ab−2bxa
На плоскости z лежит точки S,C при подстановки их координат, прямая y=x√3 есть уравнений биссектрисы AL.
ГМТ: Проведем плоскость α⊥ABC и проходящий через AC и плоскость β⊥α и проходящая SC и проведем плоскость γ⊥ABC и проходящая через биссектрису AL , тогда ГМТ есть прямая T которая образуется при β∩γ
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.