Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

1-ші халықаралық Жәутіков олимпиадасы, үлкен лига, 2005 жыл


SABC — дұрыс үшбұрыштық пирамида, яғни, SA=SB=SC және AB=BC=AC. Кеңістікте |cosδA2cosδB2cosδC|=3 теңдігін қанағаттандыратын D (DS) нүктелерінің геометриялық орынын табыңыздар, мұнда әрбір X{A,B,C} үшін δX=XSD.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 2   2
3 года 11 месяца назад #

Пусть AB=a и высота пирамиды h=b.

Впишем в пространственную плоскость XYZ так что AC совпадала с осью OX и A начало координат:

A(0,0,0), B(a2,a32,0), C(a,0,0), S(a2,a36,b) пусть D(x,y,z)

Тогда

SA(a2,a36,b), SB(0,a33,b), SC(a2,a36,b),  SD(xa2,ya36,zb)

Так как SA=SB=SC пусть тогда |SA||SD|=(a23+b2)((xa2)2+(ya36)2+(zb)2) и используя то что

cos(a,b)=(a,b)|a||b|

Тогда условие в задаче, возведя в квадрат преобразуется:

(2a23ax3ay6b2+6bz)2=36(a23+b2)((xa2)2+(ya36)2+(zb)2)

3(a(2a3x3y)+6b(zb))2=(a2+3b2)(9(2xa)2+(6ya3)2+36(zb)2)

t=zb, n=a(2a3x3y), m=9(2xa)2+(6ya3)2

3(n+6bt)2=(a2+3b2)(m+36t2)

36a2t236bnt+a2m3n2+3b2m=0

D=(36bn)2144a2(a2m3n2+3b2m)=144(a2+3b2)(3n2a2m)=144(a2+3b2)=144(a2+3b2)9a2(x3y)2

откуда y=x3, z=2ab2bxa

На плоскости z лежит точки S,C при подстановки их координат, прямая y=x3 есть уравнений биссектрисы AL.

ГМТ: Проведем плоскость αABC и проходящий через AC и плоскость βα и проходящая SC и проведем плоскость γABC и проходящая через биссектрису AL , тогда ГМТ есть прямая T которая образуется при βγ