1-я Международная Жаутыковская олимпиада, 2005 год, старшая лига

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Задача №1. Докажите, что уравнение

$x^5+31=y^2$ не имеет решения в целых числах.
комментарий/решение(1)

Задача №2. Дано действительное число

$r$ такое, что для некоторой последовательности

$\{a_n\}$ положительных действительных чисел неравенство

$a_1+a_2+\dots+a_{m+1}\leq ra_m$ выполняется для всех натуральных чисел

$m$ . Докажите, что

$r\geq 4$ .
комментарий/решение(1)

Задача №3. Пусть

$SABC$ — правильная треугольная пирамида, т.е.

$SA=SB=SC$ и

$AB=BC=AC$ . Найдите геометрическое место точек

$D$ (

$D\ne S$ ) пространства, удовлетворяющих уравнению

$|\cos\delta_A-2\cos\delta_B-2\cos\delta_C|=3,$ где угол

$\delta_X=\angle XSD$ для каждого

$X\in\{A, B, C\}$ .
комментарий/решение(1)

Задача №4. Точка

$X$ внутри выпуклого четырехугольника называется наблюдаемой из стороны

$YZ$ этого четырехугольника, если основание перпендикуляра из

$X$ на прямую

$YZ$ принадлежит замкнутому отрезку

$[YZ]$ . Точка внутри выпуклого четырехугольника называется

$k$ - точкой , если она наблюдаема в точности из

$k$ сторон четырехугольника (например, каждая точка внутри квадрата является 4-точкой). Докажите, что если внутри выпуклого четырехугольника существует 1-точка, то там существует и

$k$ -точка для каждого

$k\in \{2, 3, 4\}$ .
комментарий/решение

Задача №5. Для любых положительных действительных чисел

$a$ ,

$b$ ,

$c$ ,

$d$ докажите неравенство

$\dfrac{c}{{a + 2b}} + \dfrac{d}{{b + 2c}} + \dfrac{a}{{c + 2d}} + \dfrac{b}{{d + 2a}} \geq \dfrac{4}{3}.$
комментарий/решение(3)

Задача №6. Найдите все простые числа

$p$ ,

$q$ , не превосходящие 2005 и такие, что

$p^2+8$ делится на

$q$ , а

$q^2+8$ делится на

$p$ .
комментарий/решение

результаты