1-я Международная Жаутыковская олимпиада, 2005 год, старшая лига

Докажите, что уравнение $x^5+31=y^2$ не имеет решения в целых числах.

Комментарий/решение

Ответ: Не существуют таких чисел

Все сравнения по $\mod{4}$

$$x^5+32=y^2+1$$

$$x^5 \equiv 0,1 +1 = 1,2 \Rightarrow$$

$$x \equiv 1,2 (1)$$

$$(x+2)(\frac{x^5+2^5}{x+2})=y^2+1$$

Из рождественской теоремы ферма следует, что $x+2 \equiv 1,2 (2)$

$(1)$ противоречит $(2)$.