1-ші халықаралық Жәутіков олимпиадасы, үлкен лига, 2005 жыл

Берілген ${{x}^{5}}+31={{y}^{2}}$ теңдеуінің бүтін сандар жиынында шешімі жоқ екенін дәлелдеңіздер.

Комментарий/решение

Ответ: Не существуют таких чисел

Все сравнения по $\mod{4}$

$$x^5+32=y^2+1$$

$$x^5 \equiv 0,1 +1 = 1,2 \Rightarrow $$

$$ x \equiv 1,2 (1)$$

$$(x+2)(\frac{x^5+2^5}{x+2})=y^2+1 $$

Из рождественской теоремы ферма следует, что $x+2 \equiv 1,2 (2)$

$(1)$ противоречит $(2)$.