8-шы халықаралық Жәутіков олимпиадасы, 2012 жыл

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Есеп №1. Сүйірбұрышты

$ABC$ үшбұрышында,

$AB$ қабырғасының кез келген

$D$ ішкі нүктесі белгіленген.

$D$ нүктесінен

$BC$ және

$AC$ қабырғаларына түсірілген перпендикулярлардың табандарын сәйкесінше

$M$ және

$N$ деп белгілейік, ал

$H_1$ және

$H_2$ арқылы сәйкесінше

$MNC$ және

$MND$ үшбұрыштарының ортоцентрлерін белгілейік.

$AH_1BH_2$ төртбұрышының ауданы

$D$ нүктесінің

$AB$ қабырғасынан қалай таңдалғанына тәуелсіз екенін дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(3)

Есеп №2. Өлшемі

$n \times n$ болатын кестенің (бірлік) шаршыларының жиыны мына шартты қанағаттандыратын болса, ыңғайлы деп аталады: кестенің әрбір қатарында және әрбір бағанында осы жиынның кемінде екі шаршысы табылады. Әрбір

$n \ge 5$ үшін мынадай

$m$ санының ең үлкен мүмкін мәнін анықтаңдар: кез келген шаршысын өшірсек ыңғайлы болмай қалатын, бірақ өзі ыңғайлы,

$m$ шаршыдан тұратын жиын табылады.
комментарий/решение(1)

Есеп №3. Коэффициенттері нақты сандар болатын

$P$ ,

$Q$ және

$R$ көпмүшеліктері үшін

$P(Q(x)) + P(R(x))$ көпмүшелігі тұрақты (бір санға тең) болып қалғаны белгілі болса,

$P(x)$ және

$Q(x) + R(x)$ көпмүшеліктерінің ең болмағанда біреуі тұрақты екенін дәлелдеңдер.
комментарий/решение

Есеп №4. Төменгі шарттарды бір мезгілде қанағаттандыратын

$m$ және

$n$ бүтін сандары және

$f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ функциясы табыла ма (мұнда

$\mathbb{R}$ нақты сандар жиынын белгілейді):
i) кез келген

$x \in \mathbb{R}$ үшін

$f(f(x)) = 2f(x) -x - 2$ теңдігі орындалады;
ii)

$m \le n$ және

$f(m) = n$ ?
комментарий/решение(1)

Есеп №5. Дөңес

$ABCD$ төртбұрышының диагоналдарына

$ACB'$ және

$BDC'$ дұрыс үшбұрыштары салынған. Оған қоса,

$B$ және

$B'$ нүктелері

$AC$ түзуінің бір жағында, ал

$C$ және

$C'$ нүктелері

$BD$ түзуінің бір жағында жатыр. Егер

$B'C' = AB + CD$ екені белгілі болса,

$\angle BAD + \angle CDA$ қосындысының мәнін табыңыздар.
комментарий/решение(3)

Есеп №6. Теңдеудің барлық бүтін шешімдерін табыңыздар:

$2x^2 - y^{14} = 1.$
комментарий/решение(5)

результаты