8-я Международная Жаутыковская олимпиада, 2012 год

Внутри стороны $AB$ остроугольного треугольника $ABC$ выбрана произвольная точка $D$. Точки $M$ и $N$ — основания перпендикуляров, опущенных из $D$ на стороны $BC$ и $AC$ соответственно. Пусть $H_1$ и $H_2$ — ортоцентры треугольников $MNC$ и $MND$ соответственно. Докажите, что площадь четырехугольника $AH_1BH_2$ не зависит от положения точки $D$ на стороне $AB$.

Комментарий/решение

Пусть $G,\ L, \ Y$ основания высот проведенных с вершин $N,M,D$, аналогично $V,K,X$ основания проведенных $N,M,C$. Проведем высоту $H_{2}E$ в треугольнике $H_{2}AB$ и высоту $H_{1}F$ в треугольнике $H_{1}AB$, требуется доказать что $H_{2}E+H_{1}F=const$.

Проведем высоту $CH$ в треугольнике $ABC$, заметим что $H_{2}NMC$ - параллелограмм, так как $LN \perp H_{2}M, \ LN \perp AC$ и $MG \perp BC, \ MG \perp H_{2}N$, тогда $KM=LN, \ CK=H_{2}L, \ CH_{1}=DH_{2}$, значит проведя параллельную к $AB$ отрезок $A'B'=AB$ через точку $H_{1}$, пусть $E' \in CH \cap A'B'$ получаем что $CE'=H_{2}E$ так как $E'H || H_{1}F$ откуда $CE'+H_{1}F = H_{2}E+H_{1}F=CH$ то есть $const = CH$.

Еще заметим что площадь четырехугольника не меняется( (с) Matov) и равна площади треугольника ABC.

Можно обозначить $A(1,0,0), B(0,1,0), C(0,0,1), D(d, 1-d, 0)$

Легко вычислить $M(0, \dfrac{d(c^2-b^2+a^2)}{-2a^2} +1, \dfrac{d(c^2-b^2+a^2)}{2a^2})$ и $ N( \dfrac{(1-d)(a^2-c^2+b^2)}{2b^2}+d, 0, \dfrac{(1-d)(b^2-a^2+c^2)}{2b^2})$

Легко заметить что $NH_1MD$ и $NCMH_2$ - параллелограммы, тогда легко находим координаты $H_1$ и $H_2.$ После чего используем формулу площади $ABH_1$ и $AH_2B$ через детерминат матриц

$\begin{matrix}1 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0 \\x_1 & y_1 & z_1 \end{matrix}$ and $\begin{matrix}1 & 0 & 0 \\x_2 & y_2 & z_2 \\0 & 1 & 0 \end{matrix}$

Докажем просто, что $z_1-z_3=const$, что легко можно проверить (оно равно $1$, значит площадь четырехугольника равна площади $ABC$