8-я Международная Жаутыковская олимпиада, 2012 год

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Задача №1. Внутри стороны

$AB$ остроугольного треугольника

$ABC$ выбрана произвольная точка

$D$ . Точки

$M$ и

$N$ — основания перпендикуляров, опущенных из

$D$ на стороны

$BC$ и

$AC$ соответственно. Пусть

$H_1$ и

$H_2$ — ортоцентры треугольников

$MNC$ и

$MND$ соответственно. Докажите, что площадь четырехугольника

$AH_1BH_2$ не зависит от положения точки

$D$ на стороне

$AB$ .
комментарий/решение(3)

Задача №2. Множество (единичных) клеток таблицы

$n\times n$ назовём удобным , если в каждой строке и каждом столбце таблицы есть по крайней мере две клетки этого множества. При каждом

$n\geq 5$ найдите наибольшее

$m$ , для которого найдётся удобное множество из

$m$ клеток, которое перестает быть удобным при удалении любой из его клеток.
комментарий/решение(1)

Задача №3. Многочлены

$P$ ,

$Q$ ,

$R$ с вещественными коэффициентами таковы, что многочлен

$P(Q(x))+P(R(x))$ — постоянный. Докажите, что хотя бы один из многочленов

$P(x)$ и

$Q(x)+R(x)$ является постоянным.
комментарий/решение

Задача №4. Существуют ли целые числа

$m$ ,

$n$ и функция

$f\colon \Bbb R \to \Bbb R$ , одновременно удовлетворяющие следующим двум условиям (здесь

$\Bbb R$ обозначает множество действительных чисел):
i)

$f(f(x))=2f(x)-x-2$ для любого

$x\in \Bbb R$ ;
ii)

$m\leq n$ и

$f(m)=n$ ?
комментарий/решение(1)

Задача №5. На диагоналях выпуклого четырехугольника

$ABCD$ построены правильные треугольники

$ACB'$ и

$BDC'$ , причем точки

$B$ и

$B'$ лежат по одну сторону от

$AC$ , а точки

$C$ и

$C'$ лежат по одну сторону от

$BD$ . Найдите

$\angle BAD+\angle CDA$ , если известно, что

$B'C'=AB+CD$ .
комментарий/решение(3)

Задача №6. Найдите все целочисленные решения уравнения:

$2x^2 - y^{14}=1.$
комментарий/решение(5)

результаты