5-я Международная Жаутыковская олимпиада, 2009 год

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Задача №1. Найдите все такие пары целых чисел

$(x, y)$ , что

$x^2-2009y+2y^2=0.$
комментарий/решение(4)

Задача №2. Найдите все действительные

$a$ , для которых существует функция

$f: \Bbb R \to \Bbb R$ , удовлетворяющая неравенству

$x+af(y)\leq y+f(f(x))$ для всех

$x\in \Bbb R$ . (Здесь

$\Bbb R$ — множество всех действительных чисел.)
комментарий/решение(5)

Задача №3. Для выпуклого шестиугольника

$ABCDEF$ площади

$S$ докажите неравенство

$AC(BD+BF-DF)+CE(BD+DF-BF)+AE(BF+DF-BD)\geq 2\sqrt 3 S.$
комментарий/решение(2)

Задача №4. На плоскости выбрана декартова система координат. Точки

$A_1$ ,

$A_2$ ,

$A_3$ ,

$A_4$ лежат на параболе

$y=x^2$ , а точки

$B_1$ ,

$B_2$ ,

$B_3$ ,

$B_4$ лежат на параболе

$y=2009x^2$ . Точки

$A_1$ ,

$A_2$ ,

$A_3$ ,

$A_4$ лежат на одной окружности, и точки

$A_i$ и

$B_i$ имеют одинаковые абсциссы при любом

$i=1, 2, 3, 4$ . Докажите, что

$B_1$ ,

$B_2$ ,

$B_3$ ,

$B_4$ также лежат на одной окружности.
комментарий/решение(1)

Задача №5. Дан четырехугольник

$ABCD$ , в котором

$\angle B=\angle D=90^\circ$ . На отрезке

$AB$ выбрана такая точка

$M$ , что

$AD=AM$ . Лучи

$DM$ и

$CB$ пересекаются в точке

$N$ . Точки

$H$ и

$K$ — основания перпендикуляров, опущенных из точек

$D$ и

$C$ на прямые

$AC$ и

$AN$ , соответственно. Докажите, что

$\angle MHN=\angle MCK$ .
комментарий/решение(2)

Задача №6. В клетчатом квадрате

$17\times 17$

$n$ клеток окрашены в черный цвет. Назовем линией любой столбец, любую строку и любую из двух диагоналей квадрата. За один шаг, если в некоторой линии есть хотя бы 6 черных клеток, можно окрасить все ее клетки в черный цвет.
Найдите наименьшее такое

$n$ , что при некотором расположении исходных

$n$ черных клеток можно за несколько шагов окрасить все клетки квадрата.
комментарий/решение

результаты