5-ші халықаралық Жәутіков олимпиадасы, 2009 жыл

Полные решения этих задач опубликованы в книге, доступный для заказа по ссылке

Есеп №1.  Найдите все такие пары целых чисел $(x, y)$, что $x^2-2009y+2y^2=0.$
комментарий/решение(4)

---

Есеп №2.  Найдите все действительные $а$, для которых существует функция $f: \Bbb R \to \Bbb R $, удовлетворяющая неравенству $$x+af(y)\leq y+f(f(x))$$ для всех $x\in \Bbb R $. (Здесь $ \Bbb R $ — множество всех действительных чисел.)
комментарий/решение(5)

---

Есеп №3.  Для выпуклого шестиугольника $ABCDEF$ площади $S$ докажите неравенство $$AC(BD+BF-DF)+CE(BD+DF-BF)+AE(BF+DF-BD)\geq 2\sqrt 3 S.$$
комментарий/решение(2)

---

Есеп №4.  На плоскости выбрана декартова система координат. Точки $A_1$, $A_2$, $A_3$, $A_4$ лежат на параболе $y=x^2$, а точки $B_1$, $B_2$, $B_3$, $B_4$ лежат на параболе $y=2009x^2$. Точки $A_1$, $A_2$, $A_3$, $A_4$ лежат на одной окружности, и точки $A_i$ и $B_i$ имеют одинаковые абсциссы при любом $i=1, 2, 3, 4$. Докажите, что $B_1$, $B_2$, $B_3$, $B_4$ также лежат на одной окружности.
комментарий/решение(1)

---

Есеп №5.  Дан четырехугольник $ABCD$, в котором $\angle B=\angle D=90^\circ$. На отрезке $AB$ выбрана такая точка $M$, что $AD=AM$. Лучи $DM$ и $CB$ пересекаются в точке $N$. Точки $H$ и $K$ — основания перпендикуляров, опущенных из точек $D$ и $C$ на прямые $AC$ и $AN$, соответственно. Докажите, что $\angle MHN=\angle MCK$.
комментарий/решение(2)

---

Есеп №6.  В клетчатом квадрате $17\times 17$ $n$ клеток окрашены в черный цвет. Назовем линией любой столбец, любую строку и любую из двух диагоналей квадрата. За один шаг, если в некоторой линии есть хотя бы 6 черных клеток, можно окрасить все ее клетки в черный цвет.
Найдите наименьшее такое $n$, что при некотором расположении исходных $n$ черных клеток можно за несколько шагов окрасить все клетки квадрата.
комментарий/решение

---