5-я Международная Жаутыковская олимпиада, 2009 год

На плоскости выбрана декартова система координат. Точки $A_1$, $A_2$, $A_3$, $A_4$ лежат на параболе $y=x^2$, а точки $B_1$, $B_2$, $B_3$, $B_4$ лежат на параболе $y=2009x^2$. Точки $A_1$, $A_2$, $A_3$, $A_4$ лежат на одной окружности, и точки $A_i$ и $B_i$ имеют одинаковые абсциссы при любом $i=1, 2, 3, 4$. Докажите, что $B_1$, $B_2$, $B_3$, $B_4$ также лежат на одной окружности.

Комментарий/решение

1)

Положим что $A_{1}(a,a^2), \ A_{2}(b,b^2), \ A_{3}(c,c^2), \ A_{4}(d,d^2)$ и $a<b<c<d$.

Положим что $(x,y)$ центр описанной окружности $A_{1}A_{2}A_{3}A_{4}$, тогда

$ \left\{ \begin{gathered} (x-a)^2+(y-a^2)^2=(x-b)^2+(y-b^2)^2\\ (x-c)^2+(y-c^2)^2=(x-d)^2+(y-d^2)^2 \\ (x-b)^2+(y-b^2)^2=(x-c)^2+(y-c^2)^2 \\ (x-a)^2+(y-a^2)^2=(x-d)^2+(y-d^2)^2 \end{gathered} \right.$

Откуда

$ \left\{ \begin{gathered} 2x=(a+b)(a^2+b^2+1-2y)\\2x=(c+d)(c^2+d^2+1-2y)\\2x=(b+c)(b^2+c^2+1-2y) \\ 2x=(a+d)(a^2+d^2+1-2y) \end{gathered} \right.$

Или

$ \left\{ \begin{gathered} (a+b)(a^2+b^2+1-2y)=(b+c)(b^2+c^2+1-2y)\\(c+d)(c^2+d^2+1-2y)=(a+d)(a^2+d^2+1-2y) \end{gathered} \right.$

Или

$ \left\{ \begin{gathered}(a+b)(a^2+b^2+1)-(b+c)(b^2+c^2+1)=2y(a-c))\\(c+d)(c^2+d^2+1)-(a+d)(a^2+d^2+1)=2y(c-a) \end{gathered} \right.$

Для первого

$a(a^2+b^2+1)+b(a^2+b^2+1)-b(b^2+c^2+1)-c(b^2+c^2+1)=2y(a-c)$

$(a-c)(a^2+b^2+c^2+ac+ab+bc+1)=2y(a-c)$

$ a \ne c$ значит

$y=\dfrac{a^2+b^2+c^2+ac+ab+bc+1}{2}$

Так же и второй

$y=\dfrac{a^2+c^2+d^2+ac+ad+cd+1}{2}$

$a^2+b^2+c^2+ac+ab+bc+1=a^2+c^2+d^2+ac+ad+cd+1$

$b^2+ab+bc=d^2+ad+cd$

$(b-d)(b+d)=(d-b)(a+c)$

$(b-d)(b+d+a+c)=0$

$a+b+c+d=0$

Значит для координат (которые лежат на окружности) должно выполнятся условие $a+b+c+d=0$

2)

Докажем что для любых таких точек с координатами $B_{1}(a,na^2), \ B_{2}(b,nb^2), \ B_{3}(c,nc^2), \ B_{4}(d,nd^2)$ которые лежат на параболе вида $y=nx^2$ точки будут лежат на одной окружности.

Тогда $ \vec{A}$

$ \vec{B_{1}B_{4}}(d-a, \ n(d^2-a^2)), \ \vec{B_{1}B_{2}}(b-a,n(b^2-a^2)), \ \vec{B_{3}B_{4}}(d-c,n(d^2-c^2)), \ \vec{B_{3}B_{2}}(b-c,n(b^2-c^2))$

Тогда $\cos (B_{1}B_{2},B_{1}B_{4})=-\cos(B_{3}B_{4},B_{3}B_{2})$

Преобразовывая

$\dfrac{1+n^2(a+d)(a+b)}{\sqrt{(1+n^2(d+a)^2)(1+n^2(b+a)^2)}} = \dfrac{1+n^2(c+d)(b+c)}{\sqrt{(1+n^2(d+c)^2)(1+n^2(b+c)^2)}}$

Учитывая то что $a+b+c+d=0$ получаем тождество.

В данном случае $n=2009$